Encontrando as
-ésimas somas parciais
Encontre a fórmula para a
-ésima soma parcial de cada série e use-a para encontrar a soma da série se ela convergir.
Encontre a fórmula para a
Passo 1
O enunciado dá a série
e pede (1) a fórmula da
-ésima soma parcial
e (2) a soma da série, se ela convergir. Esse é um caso típico de série telescópica, em que vamos usar decomposição em frações parciais para somar termo a termo.
Passo 2
Decompondo o termo geral em frações parciais, procuramos constantes
e
tais que
Multiplicando ambos os lados por
, obtemos
Comparando coeficientes em
e constantes, vem
Logo
Passo 3
Escrevendo a
-ésima soma parcial, temos
Esse somatório telescopa:
Quase todos os termos internos cancelam em cadeia.
Passo 4
Depois do cancelamento, sobram apenas o primeiro pedaço de cada parêntese (quando
) e o último pedaço negativo (quando
), isto é,
Passo 5
Para saber se a série converge, tomamos o limite de
quando
:
Portanto, a série converge e sua soma é
.
Resposta
A
-ésima soma parcial é
e a série converge para