Encontrando as n-ésimas somas parciais
Encontre a fórmula para a n-ésima soma parcial de cada série e use-a para encontrar a soma da série se ela convergir.
\frac{5}{1 \cdot 2}+\frac{5}{2 \cdot 3}+\frac{5}{3 \cdot 4}+\cdots+\frac{5}{n(n+1)}+\cdots

Passo 1

O enunciado dá a série
\sum_{k=1}^{\infty}\frac{5}{k(k+1)}
e pede (1) a fórmula da n-ésima soma parcial S_n e (2) a soma da série, se ela convergir. Esse é um caso típico de série telescópica, em que vamos usar decomposição em frações parciais para somar termo a termo.

Passo 2

Decompondo o termo geral em frações parciais, procuramos constantes A e B tais que
\frac{5}{k(k+1)}=\frac{A}{k}+\frac{B}{k+1}.
Multiplicando ambos os lados por k(k+1), obtemos
5 = A(k+1) + Bk = (A+B)\,k + A.
Comparando coeficientes em k e constantes, vem
A+B = 0, \quad A = 5 \quad\Longrightarrow\quad B = -5.
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\frac{5}{k(k+1)} = \frac{5}{k} - \frac{5}{k+1}.

Passo 3

Escrevendo a n-ésima soma parcial, temos
S_n = \sum_{k=1}^{n}\frac{5}{k(k+1)} = \sum_{k=1}^{n}\Bigl(\frac{5}{k} - \frac{5}{k+1}\Bigr).
Esse somatório telescopa:
S_n = \bigl(5-\tfrac{5}{2}\bigr) +\bigl(\tfrac{5}{2}-\tfrac{5}{3}\bigr) + \cdots +\bigl(\tfrac{5}{n}-\tfrac{5}{n+1}\bigr).
Quase todos os termos internos cancelam em cadeia.

Passo 4

Depois do cancelamento, sobram apenas o primeiro pedaço de cada parêntese (quando k=1) e o último pedaço negativo (quando k=n), isto é,
S_n = 5 - \frac{5}{n+1} = \frac{5(n+1) - 5}{n+1} = \frac{5n}{n+1}.

Passo 5

Para saber se a série converge, tomamos o limite de S_n quando n\to\infty:
\lim_{n\to\infty}S_n = \lim_{n\to\infty}\frac{5n}{n+1} = 5.
Portanto, a série converge e sua soma é 5.

Resposta

A n-ésima soma parcial é
S_n = \frac{5n}{n+1},
e a série converge para
\sum_{k=1}^{\infty}\frac{5}{k(k+1)} = 5.

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