Encontrando as
-ésimas somas parciais
Encontre a fórmula para a
-ésima soma parcial de cada série e use-a para encontrar a soma da série se ela convergir.
Encontre a fórmula para a
Passo 1
O enunciado pede a fórmula da
-ésima soma parcial
e, em seguida, a soma da série infinita, caso ela convirja. O conteúdo é séries telescópicas, e vamos usar decomposição em frações parciais.
Passo 2
Decompondo o termo genérico em frações parciais, buscamos
e
tais que
Multiplicando em cruz,
Escolhendo
e
ou igualando coeficientes, obtém-se
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Passo 3
Substituindo na soma parcial,
Em série telescópica, todos os termos internos se cancelam, sobrando
Passo 4
Para verificar convergência e achar a soma da série infinita, calculamos
Resposta
Fórmula da
-ésima soma parcial:
Como
, a série converge para
.