Encontrando as n-ésimas somas parciais
Encontre a fórmula para a n-ésima soma parcial de cada série e use-a para encontrar a soma da série se ela convergir.
\frac{1}{2 \cdot 3}+\frac{1}{3 \cdot 4}+\frac{1}{4 \cdot 5}+\cdots+\frac{1}{(n+1)(n+2)}+\cdots

Passo 1

O enunciado pede a fórmula da n-ésima soma parcial
S_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{(k+1)(k+2)}
e, em seguida, a soma da série infinita, caso ela convirja. O conteúdo é séries telescópicas, e vamos usar decomposição em frações parciais.

Passo 2

Decompondo o termo genérico em frações parciais, buscamos A e B tais que
\frac{1}{(k+1)(k+2)} = \frac{A}{k+1} + \frac{B}{k+2}.
Multiplicando em cruz,
1 = A(k+2) + B(k+1).
Escolhendo k=-1 e k=-2 ou igualando coeficientes, obtém-se
A = 1,\quad B = -1,
logo
\frac{1}{(k+1)(k+2)} = \frac{1}{k+1} - \frac{1}{k+2}.

Passo 3

Substituindo na soma parcial,
S_n = \sum_{k=1}^n\Bigl(\frac{1}{k+1}-\frac{1}{k+2}\Bigr) =\bigl(\tfrac12-\tfrac13\bigr)+\bigl(\tfrac13-\tfrac14\bigr)+\cdots+\bigl(\tfrac{1}{n+1}-\tfrac{1}{n+2}\bigr).
Em série telescópica, todos os termos internos se cancelam, sobrando
S_n = \frac12 - \frac{1}{n+2}.

Passo 4

Para verificar convergência e achar a soma da série infinita, calculamos
\lim_{n\to\infty}S_n = \lim_{n\to\infty}\Bigl(\frac12 - \frac{1}{n+2}\Bigr) = \frac12.

Resposta

Fórmula da n-ésima soma parcial:
S_n = \frac12 - \frac{1}{n+2}.
Como \lim_{n\to\infty}S_n = \tfrac12, a série converge para \tfrac12.

Exercícios relacionados