Convergência ou divergência
Quais séries nos Exercícios 49-68 convergem? E quais divergem? Justifique suas respostas. Se a série converge, calcule sua soma.
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} \frac{3}{2^{n}}

Passo 1

O enunciado dá a série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{3}{2^{n}}.
O conteúdo aqui são séries infinitas, em particular séries geométricas e convergência absoluta. Vamos identificar a razão e aplicar o teste da série geométrica.

Passo 2

Reescrevemos como série geométrica. O primeiro termo é
a_{1}=(-1)^{1+1}\frac{3}{2^{1}}=\frac{3}{2},
e a razão é
r=\frac{(-1)^{n+2}\frac{3}{2^{n+1}}}{(-1)^{n+1}\frac{3}{2^{n}}} =-\frac12.
Como \lvert r\rvert=\tfrac12<1, a série converge absolutamente.

Passo 3

Para série geométrica com \lvert r\rvert<1, a soma é
S=\frac{a_{1}}{1-r}.
Substituindo a_{1}=\tfrac{3}{2} e r=-\tfrac12 vem
S=\frac{\tfrac{3}{2}}{1-(-\tfrac12)} =\frac{\tfrac{3}{2}}{\tfrac{3}{2}} =1.

Resposta

A série converge (até absolutamente) e
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{3}{2^{n}}=1.

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