\int_{0}^{\pi} x^{2} \operatorname{sen}(2 x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int_{0}^{\pi} x^{2}\sin(2x)\,dx.
O conteúdo aqui é integração por partes, que precisaremos aplicar duas vezes.

Passo 2

Aplicamos integração por partes em \int x^{2}\sin(2x)\,dx. Seja
u = x^{2},\quad dv = \sin(2x)\,dx.
Então
du = 2x\,dx, \quad v = \int \sin(2x)\,dx = -\frac{\cos(2x)}{2}.
Logo
\int x^{2}\sin(2x)\,dx = u\,v - \int v\,du = -\frac{x^{2}\cos(2x)}{2} + \int x\cos(2x)\,dx.

Passo 3

Agora integramos \int x\cos(2x)\,dx por partes. Seja
u = x,\quad dv = \cos(2x)\,dx,
então
du = dx, \quad v = \int \cos(2x)\,dx = \frac{\sin(2x)}{2}.
Portanto
\int x\cos(2x)\,dx = x\cdot\frac{\sin(2x)}{2} - \int \frac{\sin(2x)}{2}\,dx = \frac{x\sin(2x)}{2} + \frac{\cos(2x)}{4} + C.

Passo 4

Juntando os resultados, obtemos a primitiva
\int x^{2}\sin(2x)\,dx = -\frac{x^{2}\cos(2x)}{2} + \frac{x\sin(2x)}{2} + \frac{\cos(2x)}{4} + C.

Passo 5

Agora avaliamos de 0 a \pi. Defina
F(x) = -\frac{x^{2}\cos(2x)}{2} + \frac{x\sin(2x)}{2} + \frac{\cos(2x)}{4}.
Em x=\pi:
F(\pi) = -\frac{\pi^{2}\cos(2\pi)}{2} + \frac{\pi\sin(2\pi)}{2} + \frac{\cos(2\pi)}{4} = -\frac{\pi^{2}}{2} + 0 + \frac{1}{4}.
Em x=0:
F(0) = 0 + 0 + \frac{\cos(0)}{4} = \frac{1}{4}.

Passo 6

Subtraindo,
\int_{0}^{\pi} x^{2}\sin(2x)\,dx = F(\pi) - F(0) = \Bigl(-\frac{\pi^{2}}{2} + \frac{1}{4}\Bigr) - \frac{1}{4} = -\frac{\pi^{2}}{2}.

Resposta

-\frac{\pi^{2}}{2}

Exercícios relacionados