\int_{0}^{1} x(x-1) e^{x-1} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular
\int_{0}^{1} x(x-1)\,e^{x-1}\,dx.
O conteúdo aqui é integração por partes, pois temos um produto de polinômio x(x-1) e exponencial e^{x-1}.

Passo 2

Aplicamos a fórmula
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du
em
u = x(x-1),\quad dv = e^{x-1}\,dx.
Então
du = (2x-1)\,dx, \qquad v = \int e^{x-1}\,dx = e^{x-1}.
Logo
\int_{0}^{1} x(x-1)\,e^{x-1}\,dx = \bigl[x(x-1)e^{x-1}\bigr]_{0}^{1} - \int_{0}^{1}(2x-1)\,e^{x-1}\,dx.
O termo de fronteira vale zero em x=0 e em x=1, pois em ambos x(x-1)=0.

Passo 3

Ficamos com
I = -\int_{0}^{1}(2x-1)\,e^{x-1}\,dx = -\Bigl( 2\int_{0}^{1}x\,e^{x-1}\,dx -\int_{0}^{1}e^{x-1}\,dx \Bigr).

Passo 4

Calculemos separadamente
J_1 = \int_{0}^{1}x\,e^{x-1}\,dx.
Usamos outra vez integração por partes com
a = x, \quad db = e^{x-1}\,dx
de modo que
da = dx, \quad b = e^{x-1}.
Temos
J_1 = \bigl[x\,e^{x-1}\bigr]_{0}^{1} - \int_{0}^{1}e^{x-1}\,dx = 1 - \int_{0}^{1}e^{x-1}\,dx.
E
\int_{0}^{1}e^{x-1}\,dx = \bigl[e^{x-1}\bigr]_{0}^{1} = 1 - e^{-1}.
Portanto
J_1 = 1 - (1 - e^{-1}) = e^{-1}.
Chamemos também
J_2 = \int_{0}^{1}e^{x-1}\,dx = 1 - e^{-1}.

Passo 5

Substituindo J_1 e J_2 em I, obtemos
I = -\Bigl(2\,e^{-1} - (1 - e^{-1})\Bigr) = -\bigl(3e^{-1} -1\bigr) = 1 - 3e^{-1}.

Resposta

1 - 3e^{-1}

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