Deixe
ser uma sequência de variáveis aleatórias independentes que converge em probabilidade para
. Mostre que
é constante quase certamente.
Passo 1
O enunciado diz que temos uma sequência de variáveis aleatórias independentes
que converge em probabilidade para uma variável
. O objetivo é mostrar que essa
é constante quase certamente. Vamos usar conceitos de subsequência que converge quase certamente, o lema de Borel–Cantelli e a lei de zero-um de Kolmogorov para sigma-álgebra de cauda (tail).
Passo 2
Como
converge em probabilidade para
, para cada
podemos escolher um índice
tal que
Isso é possível porque convergência em probabilidade implica que essas probabilidades vão a zero. Note que
Passo 3
Pelo lema de Borel–Cantelli, se
então
. Aplicando com
, conclui-se que
ou seja,
quase certamente.
Passo 4
Como
é uma subfamília de variáveis independentes, elas também são independentes entre si. Defina a sigma-álgebra de cauda
A convergência quase certa de
para
implica que para todo
o evento difere de um evento em
por conjunto de probabilidade zero. Logo,
é mensurável em relação a
.
o evento
Passo 5
Pela lei de zero-um de Kolmogorov, a sigma-álgebra de cauda de variáveis independentes é trivial, ou seja, todo evento em
tem probabilidade 0 ou 1. Assim, uma variável mesurável em
só pode assumir um valor fixo com probabilidade 1.
Passo 6
Portanto,
é constante quase certamente.
Resposta
A variável
é constante quase certamente.