Deixe Xn ser uma sequência de variáveis aleatórias independentes que converge em probabilidade para X. Mostre que X é constante quase certamente.

Passo 1

O enunciado diz que temos uma sequência de variáveis aleatórias independentes Xn que converge em probabilidade para uma variável X. O objetivo é mostrar que essa X é constante quase certamente. Vamos usar conceitos de subsequência que converge quase certamente, o lema de Borel–Cantelli e a lei de zero-um de Kolmogorov para sigma-álgebra de cauda (tail).

Passo 2

Como Xn converge em probabilidade para X, para cada kinN podemos escolher um índice nk tal que
Pl(|Xnk-X|>1/kr)<2^-k
Isso é possível porque convergência em probabilidade implica que essas probabilidades vão a zero. Note que
sumk=1^infty Pl(|Xnk-X|>1/kr) <= sumk=1^infty 2^-k =1

Passo 3

Pelo lema de Borel–Cantelli, se sumk P(Ak) então P(Ak ocorrem io)=0. Aplicando com Ak=|Xnk-X|>1/k, conclui-se que
Pl(|Xnk-X|>1/k ior)=0,
ou seja, Xnkto X quase certamente.

Passo 4

Como (Xnk)k>=1 é uma subfamília de variáveis independentes, elas também são independentes entre si. Defina a sigma-álgebra de cauda
T = capm=1^infty sigmal(Xnm,Xnm+1,dotsr)
A convergência quase certa de Xnk para X implica que para todo xin R
o evento X<= x difere de um evento em T por conjunto de probabilidade zero. Logo, X é mensurável em relação a T.

Passo 5

Pela lei de zero-um de Kolmogorov, a sigma-álgebra de cauda de variáveis independentes é trivial, ou seja, todo evento em T tem probabilidade 0 ou 1. Assim, uma variável mesurável em T só pode assumir um valor fixo com probabilidade 1.

Passo 6

Portanto, X é constante quase certamente.

Resposta

A variável X é constante quase certamente.

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