Converta 2000 para a base 7.

Passo 1

O enunciado dá o número (2000) escrito na base decimal (base 10) e pede que o convertemos para a base 7.
Informações fornecidas:
  • O número inicial é (2000)_{10}.
    O que se pede:
  • Determinar a representação de (2000)_{10} na base 7, ou seja, encontrar (\cdot)_7 equivalente.

Passo 2

Vou explicar o método que vamos usar (divisão sucessiva) de forma bem didática. A ideia é dividir o número pelo novo base ( 7) repetidamente e anotar os restos. Esses restos serão os dígitos da representação em base 7, começando pelo dígito menos significativo (unidades). Em termos gerais, se tivermos um número inteiro N e base b, fazemos:
N = b \cdot q_1 + r_0,\quad 0\le r_0 < b,
onde r_0 é o resto da primeira divisão e q_1 é o quociente. Repetimos com q_1:
q_1 = b \cdot q_2 + r_1,
e assim por diante até obter um quociente q_k = 0. Os restos r_0,r_1,\dots,r_k são os dígitos (em ordem inversa): o número na base b é
(r_k r_{k-1}\dots r_1 r_0)_b.
Aqui cada r_i é um inteiro entre 0 e b-1. No nosso caso b=7. Agora aplicamos.

Passo 3

Primeira divisão: dividir (2000) por 7. Calculamos o quociente inteiro e o resto:
2000 \div 7 = 285\\ \text{quociente},\quad r_0 = 2000 - 7\cdot 285.
Fazendo a conta:
7\cdot 285 = 1995,
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r_0 = 2000 - 1995 = 5.
Portanto o resto da primeira divisão é r_0=5. Esse será o dígito das unidades em base 7.

Passo 4

Segunda divisão: agora dividimos o quociente 285 por 7:
285 \div 7 = 40\\ \text{quociente},\quad r_1 = 285 - 7\cdot 40.
Calculando:
7\cdot 40 = 280,
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r_1 = 285 - 280 = 5.
Portanto o segundo resto é r_1=5. Esse será o dígito das “sete” na representação.

Passo 5

Terceira divisão: dividimos 40 por 7:
40 \div 7 = 5\\ \text{quociente},\quad r_2 = 40 - 7\cdot 5.
Calculando:
7\cdot 5 = 35,
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r_2 = 40 - 35 = 5.
Portanto r_2=5.

Passo 6

Quarta divisão: dividimos 5 por 7:
5 \div 7 = 0\\ \text{quociente},\quad r_3 = 5 - 7\cdot 0 = 5.
Aqui o quociente é 0, então paramos. O resto final é r_3=5.

Passo 7

Agora juntamos os restos do último para o primeiro: r_3,r_2,r_1,r_0. Temos
r_3=5,\quad r_2=5,\quad r_1=5,\quad r_0=5.
Portanto a representação em base 7 é (5555)_7. Para verificar, expandimos em potências de 7:
5\cdot 7^3 + 5\cdot 7^2 + 5\cdot 7 + 5 = 5(343 + 49 + 7 + 1) = 5\cdot 400 = 2000,
o que confirma que a conversão está correta.

Resposta

(2000)_{10} = (5555)_7

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