Exercício 9. Quantos números ímpares, na base 10, possuem de três dígitos quando escritos na base 7 ?

Passo 1

O que o enunciado pede: contar quantos números ímpares, em base 10, têm exatamente 3 dígitos quando escritos em base 7.\n
Informações fornecidas / relevantes:
  • "Ter 3 dígitos em base 7" significa que o número escrito em base 7 vai de 100_7 até 666_7 (inclusive).
  • Um número é ímpar em base 10 se o seu resto da divisão por 2 for 1 (ou seja, se for congruente a 1 módulo 2).
  • Precisamos combinar essas duas condições: pertencer ao conjunto de números cuja representação em base 7 tem 3 dígitos e, simultaneamente, ser ímpar em base 10.

Passo 2

Traduzir o intervalo de três dígitos em base 7 para valores em base 10.\n
O menor número de 3 dígitos em base 7 é 100_7. Convertendo para base 10:
100_7 = 1\cdot 7^2 + 0\cdot 7 + 0 = 7^2 = 49.
O maior número de 3 dígitos em base 7 é 666_7. Uma forma rápida de achar o equivalente em base 10 é observar que todos os números com até 3 dígitos em base 7 vão de 0 a 7^3-1, então os números com exatamente 3 dígitos vão de 7^2 até 7^3-1. Calculando:
7^3 = 343 \quad\Rightarrow\quad 7^3-1 = 342.
Portanto estamos interessados nos números inteiros em base 10 do intervalo [49,\,342], inclusive.

Passo 3

Contar quantos inteiros existem no intervalo [49,\,342].\n
A quantidade total de inteiros em um intervalo inteiro fechado [a,b] é dada por b-a+1. Aplicando:
342-49+1 = 294.
Logo há 294 números inteiros nesse intervalo.

Passo 4

Determinar quantos desses 294 números são ímpares.\n
Repare que 49 é ímpar e 342 é par, ou seja, os extremos têm paridade diferente. Quando um intervalo inteiro fechado tem número total de elementos par (aqui 294 é par) e os extremos têm paridade diferente, exatamente metade dos elementos são ímpares e metade são pares. Portanto o número de ímpares é
\frac{294}{2} = 147.
Como alternativa (mais direto para a prova), podemos listar o primeiro ímpar do intervalo, que é 49, e o último ímpar, que é 341 (porque 342 é par). O número de termos de uma progressão aritmética com diferença 2 é
\frac{341-49}{2}+1 = \frac{292}{2}+1 = 146+1 = 147,
confirmando o mesmo resultado.

Resposta

147

Exercícios relacionados