Exercício 9. Quantos números ímpares, na base 10, possuem de três dígitos quando escritos na base 7 ?
Passo 1
O que o enunciado pede: contar quantos números ímpares, em base
, têm exatamente
dígitos quando escritos em base
.\n
Informações fornecidas / relevantes:
Informações fornecidas / relevantes:
- "Ter
dígitos em base " significa que o número escrito em base vai de até (inclusive). - Um número é ímpar em base
se o seu resto da divisão por for (ou seja, se for congruente a módulo ). - Precisamos combinar essas duas condições: pertencer ao conjunto de números cuja representação em base
tem dígitos e, simultaneamente, ser ímpar em base .
Passo 2
Traduzir o intervalo de três dígitos em base
para valores em base
.\n
O menor número de dígitos em base
é
. Convertendo para base
:
O menor número de
O maior número de
dígitos em base
é
. Uma forma rápida de achar o equivalente em base
é observar que todos os números com até
dígitos em base
vão de
a
, então os números com exatamente
dígitos vão de
até
. Calculando:
Portanto estamos interessados nos números inteiros em base
do intervalo
, inclusive.
Passo 3
Contar quantos inteiros existem no intervalo
.\n
A quantidade total de inteiros em um intervalo inteiro fechado é dada por
. Aplicando:
A quantidade total de inteiros em um intervalo inteiro fechado
Logo há
números inteiros nesse intervalo.
Passo 4
Determinar quantos desses
números são ímpares.\n
Repare que é ímpar e
é par, ou seja, os extremos têm paridade diferente. Quando um intervalo inteiro fechado tem número total de elementos par (aqui
é par) e os extremos têm paridade diferente, exatamente metade dos elementos são ímpares e metade são pares. Portanto o número de ímpares é
Repare que
Como alternativa (mais direto para a prova), podemos listar o primeiro ímpar do intervalo, que é
, e o último ímpar, que é
(porque
é par). O número de termos de uma progressão aritmética com diferença
é
confirmando o mesmo resultado.