Exercício 8. O número N quando expresso na base (b+1), é igual ao numeral b b b b, ou seja, N=(b b b b)_{b+1}. Sendo N=Q \times(Q-2), na base 10, qual o valor de Q na base b+1 ?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • Informação 1: O número N, quando escrito na base b+1, é o numeral formado por quatro dígitos todos iguais a b. Ou seja, o enunciado diz explicitamente que N=(b\,b\,b\,b)_{b+1}.
  • Informação 2: Em base decimal (base 10) vale a relação N = Q \times (Q-2). Aqui Q é um número (em base 10) tal que multiplicado por Q-2 N.
  • Pedido: Encontrar o valor de Q escrito na base b+1. Ou seja, quero a representação de Q em base b+1.
Observações úteis (apenas listando dados; a resolução começa depois): os dígitos numa base b+1 podem ser 0,1,2,\dots,b, então ter o dígito b é permitido.

Passo 2

Converter o numeral (b\,b\,b\,b)_{b+1} para seu valor em base 10 usando a ideia de representação posicional.
Explicação do conceito: numa base B, o numeral com dígitos d_3 d_2 d_1 d_0 representa
d_3 B^3 + d_2 B^2 + d_1 B + d_0.
No nosso caso B=b+1 e todos os dígitos são b. Portanto:
N = b\,(b+1)^3 + b\,(b+1)^2 + b\,(b+1) + b.

Passo 3

Fatorar b na expressão para simplificar e reconhecer uma soma geométrica.
Coloco a expressão em evidência:
N = b\bigl((b+1)^3 + (b+1)^2 + (b+1) + 1\bigr).
Aqui o que temos dentro dos parênteses é uma soma geométrica de quatro termos com razão b+1. Vou explicar a fórmula usada a seguir.

Passo 4

Apresentar a fórmula da soma geométrica e aplicá‑la.
Fórmula: a soma dos primeiros n termos de uma progressão geométrica com primeiro termo 1 e razão r é
1 + r + r^2 + \cdots + r^{n-1} = \frac{r^n - 1}{r-1},
desde que r\neq 1.
No nosso caso r=b+1 e n=4, então
(b+1)^3 + (b+1)^2 + (b+1) + 1 = \frac{(b+1)^4 - 1}{(b+1)-1} = \frac{(b+1)^4 - 1}{b}.

Passo 5

Substituir essa soma em N e simplificar (o b do fator cancela).
Usando o resultado do passo anterior:
N = b \cdot \frac{(b+1)^4 - 1}{b} = (b+1)^4 - 1.
Portanto obtivemos uma forma muito simples para N:
N = (b+1)^4 - 1.

Passo 6

Escrever a relação dada N = Q(Q-2) e montar a equação para Q.
Substituindo N na igualdade:
Q(Q-2) = (b+1)^4 - 1.
Expandindo o lado esquerdo ou recolocando em forma quadrática:
Q^2 - 2Q - \bigl((b+1)^4 - 1\bigr) = 0.

Passo 7

Resolver a equação quadrática para Q. Uso da fórmula quadrática e interpretação da raiz.
A fórmula para as raízes de Q^2 - 2Q - N =0 (onde aqui N é o valor computado) é
Q = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4N}}{2}.
Fatorando 4 no discriminante e simplificando dá
Q = 1 \pm \sqrt{1+N}.
Agora substituo N=(b+1)^4 -1 para calcular \sqrt{1+N}.

Passo 8

Calcular \sqrt{1+N} usando N=(b+1)^4 -1.
Temos
1+N = 1 + \bigl((b+1)^4 - 1\bigr) = (b+1)^4.
Tomando raiz quadrada (a raiz positiva porque buscamos Q positivo)
\sqrt{1+N} = \sqrt{(b+1)^4} = (b+1)^2.
(Explicação rápida: (b+1)^4 é um quadrado perfeito: (b+1)^4 = \bigl((b+1)^2\bigr)^2, então a raiz quadrada positiva é (b+1)^2.)

Passo 9

Escolher a raiz correta e obter Q.
Usando o resultado anterior na fórmula de Q:
Q = 1 \pm (b+1)^2.
A raiz com o sinal negativo daria Q = 1 - (b+1)^2, que é negativa para b\ge 0 e não faz sentido como valor de Q que gera N positivo pela multiplicação Q(Q-2). Portanto tomamos o sinal positivo:
Q = 1 + (b+1)^2.

Passo 10

Expressar Q na base b+1.
Explicação do raciocínio: na base B=b+1, o número 1\cdot B^2 + 0\cdot B + 1 é escrito como 101_B. Como Q = 1 + (b+1)^2 = 1\cdot (b+1)^2 + 0\cdot(b+1) + 1, sua representação em base b+1 é o numeral com dígitos 1,0,1.
Portanto:
Q = (1\,0\,1)_{\,b+1}.
(Check rápido: em base 10 Q = (b+1)^2 + 1. Se multiplicarmos Q(Q-2) obtemos ((b+1)^2+1)((b+1)^2-1) = (b+1)^4 -1 = N, confirmando a consistência.)

Resposta

(1\,0\,1)_{b+1}

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