Exercício 8. O número
quando expresso na base
, é igual ao numeral
, ou seja,
. Sendo
, na base 10, qual o valor de
na base
?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
- Informação 1: O número
, quando escrito na base , é o numeral formado por quatro dígitos todos iguais a . Ou seja, o enunciado diz explicitamente que . - Informação 2: Em base decimal (base 10) vale a relação
. Aqui é um número (em base 10) tal que multiplicado por dá . - Pedido: Encontrar o valor de
escrito na base . Ou seja, quero a representação de em base .
Observações úteis (apenas listando dados; a resolução começa depois): os dígitos numa base
podem ser
, então ter o dígito
é permitido.
Passo 2
Converter o numeral
para seu valor em base 10 usando a ideia de representação posicional.
Explicação do conceito: numa base
, o numeral com dígitos
representa
No nosso caso
e todos os dígitos são
. Portanto:
Passo 3
Fatorar
na expressão para simplificar e reconhecer uma soma geométrica.
Coloco a expressão em evidência:
Aqui o que temos dentro dos parênteses é uma soma geométrica de quatro termos com razão
. Vou explicar a fórmula usada a seguir.
Passo 4
Apresentar a fórmula da soma geométrica e aplicá‑la.
Fórmula: a soma dos primeiros
termos de uma progressão geométrica com primeiro termo
e razão
é
desde que
.
No nosso caso
e
, então
Passo 5
Substituir essa soma em
e simplificar (o
do fator cancela).
Usando o resultado do passo anterior:
Portanto obtivemos uma forma muito simples para
:
Passo 6
Escrever a relação dada
e montar a equação para
.
Substituindo
na igualdade:
Expandindo o lado esquerdo ou recolocando em forma quadrática:
Passo 7
Resolver a equação quadrática para
. Uso da fórmula quadrática e interpretação da raiz.
A fórmula para as raízes de
(onde aqui
é o valor computado) é
Fatorando
no discriminante e simplificando dá
Agora substituo
para calcular
.
Passo 8
Calcular
usando
.
Temos
Tomando raiz quadrada (a raiz positiva porque buscamos
positivo)
(Explicação rápida:
é um quadrado perfeito:
, então a raiz quadrada positiva é
.)
Passo 9
Escolher a raiz correta e obter
.
Usando o resultado anterior na fórmula de
:
A raiz com o sinal negativo daria
, que é negativa para
e não faz sentido como valor de
que gera
positivo pela multiplicação
. Portanto tomamos o sinal positivo:
Passo 10
Expressar
na base
.
Explicação do raciocínio: na base
, o número
é escrito como
. Como
, sua representação em base
é o numeral com dígitos
.
Portanto:
(Check rápido: em base 10
. Se multiplicarmos
obtemos
, confirmando a consistência.)