1. Converta 210^{\circ} para radianos.
  2. Converta \frac{5 \pi}{12} para graus.
  3. Demonstre a seguinte identidade: \cos \left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\operatorname{sen}(x).
  4. Se \operatorname{sen}(x)=1 / 3 e \operatorname{sec} (y)=5 / 4, onde x e y estão entre 0 e \pi / 2, cacule a seguinte expressão: \operatorname{sen}(x+y).
  5. Use a fórmula da adição para cosseno e as identidades
\cos \left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)=\operatorname{sen}(\theta) \quad, \quad \operatorname{sen}\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)=\cos (\theta)

Passo 1

O enunciado reúne vários exercícios sobre conversão graus–radianos, provas de identidades trigonométricas e uso das fórmulas de adição. Vamos precisar das relações \pi radianos = 180^\circ, das definições de seno, cosseno e secante, e das fórmulas de adição
\cos(a\pm b)=\cos a\cos b\mp\sin a\sin b
e
\sin(a\pm b)=\sin a\cos b\pm\cos a\sin b.

Passo 2

Para converter 210^\circ em radianos usamos a razão
1^\circ = \frac{\pi}{180}\text{ rad}
Logo
210^\circ = 210\cdot\frac{\pi}{180} = \frac{210}{180}\,\pi = \frac{7}{6}\,\pi.

Passo 3

Para converter \frac{5\pi}{12} radianos em graus usamos
1\text{ rad} = \frac{180^\circ}{\pi}
Logo
\frac{5\pi}{12}\text{ rad} = \frac{5\pi}{12}\cdot\frac{180^\circ}{\pi} = 5\cdot\frac{180^\circ}{12} = 75^\circ.

Passo 4

Queremos demonstrar
\cos\Bigl(\frac{\pi}{2}-x\Bigr)=\sin x.
Na circunferência unitária, \cos\bigl(\tfrac{\pi}{2}-x\bigr) mede o eixo vertical de um ângulo deslocado x a partir de \frac{\pi}{2}, que é exatamente a definição de \sin x. Formalmente, partindo da fórmula de cosseno de diferença:
\cos\Bigl(\frac{\pi}{2}-x\Bigr) =\cos\frac{\pi}{2}\cos x + \sin\frac{\pi}{2}\sin x =0\cdot\cos x + 1\cdot\sin x =\sin x.

Passo 5

Temos \sin x=\tfrac{1}{3} e \operatorname{sec} y=\tfrac{5}{4}, com x,y\in(0,\tfrac{\pi}{2}). Então
\cos x=\sqrt{1-\sin^2x} =\sqrt{1-\frac{1}{9}} =\frac{2\sqrt{2}}{3},
\cos y=\frac{1}{\operatorname{sec} y}=\frac{4}{5}, \quad \sin y=\sqrt{1-\cos^2y} =\sqrt{1-\frac{16}{25}} =\frac{3}{5}.
Usando \sin(x+y)=\sin x\cos y+\cos x\sin y, obtemos
\sin(x+y) =\frac{1}{3}\cdot\frac{4}{5} +\frac{2\sqrt{2}}{3}\cdot\frac{3}{5} =\frac{4}{15}+\frac{6\sqrt{2}}{15} =\frac{4+6\sqrt{2}}{15}.

Passo 6

Para derivar a fórmula de adição do seno usando a do cosseno e as identidades de cofunção, note que
\sin(x+y) =\cos\Bigl(\frac{\pi}{2}-(x+y)\Bigr).
Aplicando a fórmula de cosseno de soma na diferença
\cos\bigl((\tfrac{\pi}{2}-x)-y\bigr) =\cos\bigl(\tfrac{\pi}{2}-x\bigr)\cos y +\sin\bigl(\tfrac{\pi}{2}-x\bigr)\sin y.
Agora usamos \cos(\tfrac{\pi}{2}-x)=\sin x e \sin(\tfrac{\pi}{2}-x)=\cos x. Assim
\sin(x+y) =\sin x\cos y + \cos x\sin y,
que é a fórmula de adição para o seno.

Resposta

  1. \displaystyle \frac{7\pi}{6}
  2. 75^\circ
  3. Demonstrado que \displaystyle \cos\bigl(\tfrac{\pi}{2}-x\bigr)=\sin x.
  4. \displaystyle \sin(x+y)=\frac{4+6\sqrt{2}}{15}.
  5. \displaystyle \sin(x+y)=\sin x\cos y+\cos x\sin y.

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