Determine se as seguintes funções são injetoras:
g(x)=|x|.

Passo 1

O enunciado define a função
g\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R},\quad g(x)=\lvert x\rvert
e pede para verificar se ela é injetora. Vamos usar a definição de injetividade: g é injetora se sempre que g(x_1)=g(x_2) tivermos x_1=x_2.

Passo 2

Aplicando a definição, suponha que existam x_1 e x_2 tais que
g(x_1)=g(x_2).
Isso significa
\lvert x_1\rvert = \lvert x_2\rvert.
Mas a igualdade de módulos só garante que x_1=x_2 ou x_1=-x_2. Há, portanto, casos em que x_1\neq x_2 e mesmo assim g(x_1)=g(x_2).

Passo 3

Um contraexemplo explícito: escolha x_1=1 e x_2=-1. Então
g(1)=\lvert 1\rvert = 1 \quad\text{e}\quad g(-1)=\lvert -1\rvert = 1,
porém 1\neq -1. Logo, g falha a condição de injetividade.

Resposta

A função g(x)=\lvert x\rvert não é injetora.

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