Converta cada equação polar para cartesiana. r cos (2 theta)=2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a equação polar . Nosso objetivo é converter essa equação para o sistema de coordenadas cartesianas (usando e ). Para isso, vamos precisar lembrar das fórmulas que relacionam as coordenadas polares com as cartesianas e usar algumas identidades trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar as fórmulas de conversão entre coordenadas polares e cartesianas:
x = r costheta
y = r sintheta
r^2 = x^2 + y^2
Essas fórmulas nos ajudam a transformar qualquer equação de coordenadas polares para cartesianas.

Passo 3

Agora, precisamos expressar cos(2theta) = x^2 - y^2r^2 em termos de e . Para isso, usamos a identidade trigonométrica do ângulo duplo:
Essa identidade nos permite substituir na equação original.

Passo 4

Substituindo r cdot x^2 - y^2r^2 = 2 na equação x^2 - y^2r = 2 , temos:
Simplificando, fica:

Passo 5

Sabemos que x^2 - y^2raizx^2 + y^2 = 2 . Vamos substituir isso na equação:

Passo 6

Para eliminar a raiz do denominador, vamos multiplicar ambos os lados da equação por x^2 - y^2 = 2 raizx^2 + y^2 :

Passo 7

Agora, para se livrar da raiz quadrada, vamos elevar ambos os lados ao quadrado:
(x^2 - y^2)^2 = 4(x^2 + y^2)

Passo 8

Vamos expandir o lado esquerdo da equação:
x^4 - 2x^2y^2 + y^4 = 4x^2 + 4y^2

Passo 9

Por fim, vamos trazer todos os termos para um lado da equação para obter a forma final:
x^4 - 2x^2y^2 + y^4 - 4x^2 - 4y^2 = 0

Resposta

A equação x^4 - 2x^2y^2 + y^4 - 4x^2 - 4y^2 = 0 convertida para coordenadas cartesianas é:

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