Converta de coordenadas cartesianas para polares ( r \geq 0,0 \leq \theta<2 \pi ):
(-3,-3)

Passo 1

O enunciado pede: converter o ponto dado em coordenadas cartesianas para coordenadas polares, com as restrições r\ge 0 e 0\le \theta<2\pi. As informações fornecidas são as coordenadas cartesianas:
x = -3,\qquad y = -3.
O que precisamos encontrar são r e \theta tais que o ponto em polares seja (r,\theta).

Passo 2

Primeiro vamos achar o módulo radial r. A fórmula para converter do par cartesiano (x,y) para o raio polar é
r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
Essa fórmula vem do teorema de Pitágoras: r é a distância do ponto (x,y) à origem (0,0). Aplicando ao nosso ponto:
r=\sqrt{(-3)^{2}+(-3)^{2}}=\sqrt{9+9}=\sqrt{18}.
Simplificando \sqrt{18} escrevemos
\sqrt{18}=\sqrt{9\cdot 2}=3\sqrt{2}.
Portanto \,r=3\sqrt{2}, que é positivo como exigido.

Passo 3

Agora vamos achar o ângulo \theta. Uma forma comum é usar a tangente do ângulo:
\tan(\theta)=\frac{y}{x}.
No nosso caso,
\tan(\theta)=\frac{-3}{-3}=1.
A equação \tan(\theta)=1 tem como soluções básicas \theta=\frac{\pi}{4}+k\pi para k\in\mathbb{Z}, porque a tangente tem período \pi. Porém precisamos escolher o valor correto de \theta levando em conta em qual quadrante o ponto está.
O ponto (x,y)=(-3,-3) tem x<0 e y<0, ou seja, está no terceiro quadrante. No terceiro quadrante o ângulo correspondente é o ângulo de referência \frac{\pi}{4} mais \pi. Logo
\theta=\pi+\frac{\pi}{4}=\frac{5\pi}{4}.
Observação alternativa (mais prática): a função \operatorname{atan2}(y,x) dá diretamente o ângulo correto segundo o quadrante; para (y,x)=(-3,-3) ela retorna \theta=\frac{5\pi}{4}.

Passo 4

Verificamos as condições do enunciado: r=3\sqrt{2}\ge 0 e \theta=\frac{5\pi}{4} satisfaz 0\le \theta<2\pi. Portanto a conversão está correta.

Resposta

\left(3\sqrt{2},\dfrac{5\pi}{4}\right)

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