Converta as coordenadas cartesianas ( x, y, z ) em cilíndricas ( r, \theta, z ) e esféricas ( \rho, \theta, \varphi )
(2,2,1)

Passo 1

O enunciado pede para converter o ponto dado em coordenadas cartesianas (2,2,1) para
  • coordenadas cilíndricas (r,\theta,z), onde usamos as fórmulas r = \sqrt{x^2 + y^2},\quad \theta = \arctan\!\bigl(\tfrac{y}{x}\bigr)\\ (\text{ajustando o quadrante}),\quad z = z;
  • coordenadas esféricas (\rho,\theta,\varphi), com \rho = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2},\quad \theta \\ \text{igual à do cilíndrico},\quad \varphi = \operatorname{arccos}\!\bigl(\tfrac{z}{\rho}\bigr).àí

Passo 2

Para as coordenadas cilíndricas, calculamos
r = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2},
o ângulo fica
\theta = \arctan\!\bigl(\tfrac{2}{2}\bigr) = \arctan(1) = \tfrac{\pi}{4},
e z permanece
z = 1.

Passo 3

Para as coordenadas esféricas, primeiro
\rho = \sqrt{2^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{9} = 3,
o ângulo azimutal é o mesmo
\theta = \tfrac{\pi}{4},
e o ângulo polar é
\varphi = \operatorname{arccos}\!\bigl(\tfrac{z}{\rho}\bigr) = \operatorname{arccos}\!\bigl(\tfrac{1}{3}\bigr).

Resposta

Coordenadas cilíndricas: \bigl(2\sqrt{2},\,\tfrac{\pi}{4},\,1\bigr)
Coordenadas esféricas: \bigl(3,\,\tfrac{\pi}{4},\,\operatorname{arccos}\!\tfrac{1}{3}\bigr)

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