Converta as coordenadas cartesianas ( x, y, z ) em cilíndricas ( r, \theta, z ) e esféricas ( \rho, \theta, \varphi )
(2,2,-1)

Passo 1

O enunciado pede para converter o ponto dado em coordenadas cartesianas (x,y,z) para coordenadas cilíndricas (r,\theta,z) e para coordenadas esféricas (\rho,\theta,\varphi). O conteúdo envolve as fórmulas
r = \sqrt{x^2 + y^2},\qquad \theta = \arctan\!\bigl(\tfrac{y}{x}\bigr),\qquad z = z
para cilíndricas, e
\rho = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2},\qquad \theta = \theta,\qquad \varphi = \operatorname{arccos}\!\bigl(\tfrac{z}{\rho}\bigr)
para esféricas.

Passo 2

Aplicando as fórmulas cilíndricas a (x,y,z)=(2,2,-1):
r = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2},
como x>0 e y>0,
\theta = \arctan\!\bigl(\tfrac{2}{2}\bigr) = \arctan(1) = \tfrac{\pi}{4},
e mantemos
z = -1.

Passo 3

Aplicando as fórmulas esféricas ao mesmo ponto:
\rho = \sqrt{2^2 + 2^2 + (-1)^2} = \sqrt{9} = 3,
o ângulo azimutal continua
\theta = \tfrac{\pi}{4},
e o ângulo polar é
\varphi = \operatorname{arccos}\!\bigl(\tfrac{z}{\rho}\bigr) = \operatorname{arccos}\!\bigl(-\tfrac{1}{3}\bigr).

Resposta

Coordenadas cilíndricas:
(r,\theta,z) = \bigl(2\sqrt{2},\,\tfrac{\pi}{4},\,-1\bigr)
Coordenadas esféricas:
(\rho,\theta,\varphi) = \Bigl(3,\,\tfrac{\pi}{4},\,\operatorname{arccos}\!\bigl(-\tfrac{1}{3}\bigr)\Bigr)

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