Converta as coordenadas cartesianas ( x, y, z ) em cilíndricas ( r, \theta, z ) e esféricas ( \rho, \theta, \varphi )
(-2,2 \sqrt{3}, 3)

Passo 1

O enunciado pede para converter o ponto (-2,2\sqrt{3},3) de coordenadas cartesianas (x,y,z) em coordenadas cilíndricas (r,\theta,z) e em coordenadas esféricas (\rho,\theta,\varphi). Vamos usar as fórmulas
r = \sqrt{x^2+y^2},
\theta = arco-tangente ajustada ao quadrante,
\rho = \sqrt{x^2+y^2+z^2},
\varphi = \operatorname{arccos}\!\bigl(\tfrac{z}{\rho}\bigr).

Passo 2

Calculamos primeiro em cilíndricas:
r = \sqrt{(-2)^2 + \bigl(2\sqrt{3}\bigr)^2} = \sqrt{4 + 12} = 4.
Para \theta,
\tan(\theta) = \frac{y}{x} = \frac{2\sqrt{3}}{-2} = -\sqrt{3}.
Como x<0 e y>0, o ângulo está no segundo quadrante, logo
\theta = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}.

Passo 3

Em coordenadas cilíndricas, temos
(r,\theta,z) = \Bigl(4,\tfrac{2\pi}{3},3\Bigr).

Passo 4

Agora em esféricas:
\rho = \sqrt{(-2)^2 + \bigl(2\sqrt{3}\bigr)^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 12 + 9} = 5.
E
\varphi = \operatorname{arccos}\!\Bigl(\frac{z}{\rho}\Bigr) = \operatorname{arccos}\!\Bigl(\frac{3}{5}\Bigr).
O ângulo \theta permanece o mesmo da parte cilíndrica.

Passo 5

Em coordenadas esféricas, fica
(\rho,\theta,\varphi) = \Bigl(5,\tfrac{2\pi}{3},\operatorname{arccos}\!\bigl(\tfrac{3}{5}\bigr)\Bigr).

Resposta

Em coordenadas cilíndricas: \bigl(4,\tfrac{2\pi}{3},3\bigr)
Em coordenadas esféricas: \bigl(5,\tfrac{2\pi}{3},\operatorname{arccos}(\tfrac{3}{5})\bigr)

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