Converta as coordenadas cilíndricas ( r, \theta, z ) em cartesianas ( x, y, z ) e esféricas ( \rho, \theta, \varphi )
\left(5 \sqrt{2}, \frac{7 \pi}{4}, 2\right)

Passo 1

O enunciado dá as coordenadas cilíndricas \bigl(r,\theta,z\bigr) = \bigl(5\sqrt{2},\,\tfrac{7\pi}{4},\,2\bigr) e pede:
  • as coordenadas cartesianas \bigl(x,y,z\bigr), usando as fórmulas de conversão de cilíndricas para cartesianas;
  • as coordenadas esféricas \bigl(\rho,\theta,\varphi\bigr), lembrando que em esféricas usamos \rho = \sqrt{x^2+y^2+z^2}, \theta (mesmo ângulo azimutal) e \varphi = \operatorname{arccos}\bigl(z/\rho\bigr).

Passo 2

Para converter de cilíndricas para cartesianas usamos:
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,\quad z = z.

Passo 3

Substituindo r=5\sqrt{2} e \theta=\tfrac{7\pi}{4}:
x = 5\sqrt{2}\,\cos\!\bigl(\tfrac{7\pi}{4}\bigr) = 5\sqrt{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2} = 5,
y = 5\sqrt{2}\,\sin\!\bigl(\tfrac{7\pi}{4}\bigr) = 5\sqrt{2}\cdot\bigl(-\frac{\sqrt{2}}{2}\bigr) = -5,
e z=2. Logo,
(x,y,z) = (5,\,-5,\,2).

Passo 4

Agora passamos para esféricas. Primeiro calculamos
\rho = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} = \sqrt{5^2 + (-5)^2 + 2^2} = \sqrt{25 + 25 + 4} = \sqrt{54} = 3\sqrt{6}.
Mantém-se \theta = \tfrac{7\pi}{4}. Em seguida,
\varphi = \operatorname{arccos}\!\Bigl(\frac{z}{\rho}\Bigr) = \operatorname{arccos}\!\Bigl(\frac{2}{3\sqrt{6}}\Bigr).

Resposta

Coordenadas cartesianas:
(x,y,z) = (5,\,-5,\,2).
Coordenadas esféricas:
(\rho,\theta,\varphi) = \bigl(3\sqrt{6},\,\tfrac{7\pi}{4},\,\operatorname{arccos}\!\bigl(\tfrac{2}{3\sqrt{6}}\bigr)\bigr).

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