Converta as coordenadas cartesianas ( x, y, z ) em cilíndricas ( r, \theta, z ) e esféricas ( \rho, \theta, \varphi )
(-2,2 \sqrt{3},-3)

Passo 1

O enunciado fornece um ponto em coordenadas cartesianas (-2,\,2\sqrt{3},\,-3) e pede duas conversões:
  1. Para coordenadas cilíndricas (r,\theta,z).
  2. Para coordenadas esféricas (\rho,\theta,\varphi).
    Vamos usar as fórmulas
r=\sqrt{x^2+y^2},\quad \theta=\operatorname{atan2}(y,x),\quad z=z
e
\rho=\sqrt{x^2+y^2+z^2},\quad \theta=\operatorname{atan2}(y,x),\quad \varphi=\operatorname{arccos}\Bigl(\frac{z}{\rho}\Bigr).

Passo 2

Cálculo das coordenadas cilíndricas:
Primeiro
r=\sqrt{(-2)^2+(2\sqrt{3})^2} =\sqrt{4+12} =\sqrt{16} =4.
Como x=-2<0 e y=2\sqrt{3}>0, o ponto está no quadrante II, portanto
\theta=\operatorname{atan2}\bigl(2\sqrt{3},-2\bigr) =\frac{2\pi}{3}.
E o valor de z permanece
z=-3.

Passo 3

Cálculo das coordenadas esféricas:
Começamos por
\rho=\sqrt{(-2)^2+(2\sqrt{3})^2+(-3)^2} =\sqrt{4+12+9} =\sqrt{25} =5.
O ângulo \theta é o mesmo da conversão cilíndrica, isto é \theta=2\pi/3.
Para \varphi, que mede o desvio em relação ao eixo z, usamos
\varphi=\operatorname{arccos}\!\bigl(\tfrac{z}{\rho}\bigr) =\operatorname{arccos}\!\bigl(-\tfrac{3}{5}\bigr).
Opcionalmente, numericamente \varphi\approx2,214 radianos.

Resposta

Coordenadas cilíndricas:
(r,\theta,z) = \bigl(4,\tfrac{2\pi}{3},-3\bigr).
Coordenadas esféricas:
(\rho,\theta,\varphi) = \Bigl(5,\tfrac{2\pi}{3},\operatorname{arccos}\bigl(-\tfrac{3}{5}\bigr)\Bigr).

Exercícios relacionados