Converta as coordenadas de cilíndricas para esféricas.
Passo 1
O enunciado pede: converter as coordenadas cilíndricas
para coordenadas esféricas.
Informações dadas:
Informações dadas:
- raio cilíndrico:
(peguei do enunciado); - ângulo azimutal:
(peguei do enunciado); - coordenada vertical:
(peguei do enunciado).
O objetivo é fornecer a tripla esféricasob a convenção que vou usar (explicada no passo seguinte).
Passo 2
Escolho a convenção esférica padrão (matemática) e explico o que cada símbolo significa:
-
é a distância radial do ponto até a origem (sempre ); -
é o mesmo ângulo azimutal do cilindro (medido a partir do eixo no plano ); -
é o ângulo polar, medido a partir do eixo positivo (ou seja, aponta para e aponta para ).
As relações entre coordenadas são:
e também, relacionando com cilíndricas
,
Vou usar essas fórmulas para calcular
e
. A vantagem de usar
é que fica direto e evita ambiguidade de quadrantes.
Passo 3
Como passo intermédio intuitivo (e útil para conferir), converto para coordenadas cartesianas a partir das cilíndricas usando
Substituindo
e
:
Portanto o ponto em cartesiano é
. Isso também nos ajuda a calcular
.
Passo 4
Calculo
pela fórmula
.
Passo 5
Calculo
usando
. Substituindo
e
:
Então
Sabe-se que
, logo
Passo 6
O ângulo azimutal
na coordenada esférica é o mesmo da cilíndrica (pela convenção usada). Então
. É conveniente também garantir que
esteja no intervalo padrão
; aqui já está.
Passo 7
Resumo dos valores encontrados:
Como verificação rápida, poderia recompor
e
e conferir que voltam a dar
e
, o que de fato acontece.