Converta as coordenadas de cilíndricas para esféricas.
((2,0,-2))

Passo 1

O enunciado pede: converter as coordenadas cilíndricas \bigl(2,0,-2\bigr) para coordenadas esféricas.
Informações dadas:
  • raio cilíndrico: r=2 (peguei do enunciado);
  • ângulo azimutal: \theta=0 (peguei do enunciado);
  • coordenada vertical: z=-2 (peguei do enunciado).
    O objetivo é fornecer a tripla esférica \bigl(\rho,\theta,\varphi\bigr) sob a convenção que vou usar (explicada no passo seguinte).

Passo 2

Escolho a convenção esférica padrão (matemática) e explico o que cada símbolo significa:
  • \rho é a distância radial do ponto até a origem (sempre \rho\ge0);
  • \theta é o mesmo ângulo azimutal do cilindro (medido a partir do eixo x no plano xy);
  • \varphi é o ângulo polar, medido a partir do eixo positivo z (ou seja, \varphi=0 aponta para +z e \varphi=\pi aponta para -z).
    As relações entre coordenadas são:
x=\rho\sin\varphi\cos\theta,\qquad y=\rho\sin\varphi\sin\theta,\qquad z=\rho\cos\varphi,
e também, relacionando com cilíndricas (r,\theta,z),
r=\rho\sin\varphi,\qquad z=\rho\cos\varphi,\qquad \rho=\sqrt{r^{2}+z^{2}}.
Vou usar essas fórmulas para calcular \rho e \varphi. A vantagem de usar \varphi=\operatorname{arccos}\!\left(\dfrac{z}{\rho}\right) é que fica direto e evita ambiguidade de quadrantes.

Passo 3

Como passo intermédio intuitivo (e útil para conferir), converto para coordenadas cartesianas a partir das cilíndricas usando
x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta,\qquad z=z.
Substituindo r=2 e \theta=0:
x=2\cos 0=2,\qquad y=2\sin 0=0,\qquad z=-2.
Portanto o ponto em cartesiano é (2,0,-2). Isso também nos ajuda a calcular \rho.

Passo 4

Calculo \rho pela fórmula \rho=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}=\sqrt{r^{2}+z^{2}}.
\rho=\sqrt{2^{2}+(-2)^{2}}=\sqrt{4+4}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}.

Passo 5

Calculo \varphi usando \varphi=\operatorname{arccos}\!\left(\dfrac{z}{\rho}\right). Substituindo z=-2 e \rho=2\sqrt{2}:
\frac{z}{\rho}=\frac{-2}{2\sqrt{2}}=-\frac{1}{\sqrt{2}}=-\frac{\sqrt{2}}{2}.
Então
\varphi=\operatorname{arccos}\!\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right).
Sabe-se que \cos\!\left(\tfrac{3\pi}{4}\right)=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}, logo
\varphi=\frac{3\pi}{4}.

Passo 6

O ângulo azimutal \theta na coordenada esférica é o mesmo da cilíndrica (pela convenção usada). Então \theta=0. É conveniente também garantir que \theta esteja no intervalo padrão [0,2\pi); aqui já está.

Passo 7

Resumo dos valores encontrados:
\rho=2\sqrt{2},\qquad \theta=0,\qquad \varphi=\frac{3\pi}{4}.
Como verificação rápida, poderia recompor x=\rho\sin\varphi\cos\theta e z=\rho\cos\varphi e conferir que voltam a dar x=2 e z=-2, o que de fato acontece.

Resposta

\left(2\sqrt{2},\,0,\,\dfrac{3\pi}{4}\right)

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