Converta as coordenadas de cilíndricas para esféricas.
Passo 1
O enunciado dá coordenadas cilíndricas
e pede a conversão para coordenadas esféricas.
Informações dadas:
Informações dadas:
-
(distância radial no plano ). -
(ângulo azimutal no plano ). -
(altura ao longo do eixo ).
O que se pede: - Encontrar as coordenadas esféricas
correspondentes.
Passo 2
Convencionando as esféricas que vou usar (a mais usada em cursos de matemática):
é a distância do ponto à origem,
é o ângulo entre o vetor posição e o eixo positivo
(ou seja, o ângulo “a partir de
” — também chamado de colatitude,
), e
é o mesmo ângulo azimutal da coordenada cilíndrica. Em fórmulas:
Explicando em palavras:
vem do teorema de Pitágoras no triângulo formado por
(no plano
) e
;
é o ângulo cujo cosseno é a razão da projeção sobre
pela distância total.
Passo 3
Calcular
usando
. Substituindo os valores dados:
Simplificando
:
Passo 4
Calcular
usando
. Substituindo
e
:
Reconhecendo o ângulo cujo cosseno é
: esse é
, pois
. Logo
Passo 5
O ângulo azimutal
nas coordenadas esféricas é o mesmo da cilíndrica (mesma projeção no plano
), e o valor dado já está num intervalo aceitável
. Portanto
Passo 6
Reunindo os resultados: as coordenadas esféricas
são