Converta as coordenadas de cilíndricas para esféricas.
((4,5 \pi / 6,4))

Passo 1

O enunciado dá coordenadas cilíndricas \bigl(r,\theta,z\bigr)=(4,\tfrac{5\pi}{6},4) e pede a conversão para coordenadas esféricas.
Informações dadas:
  • r=4 (distância radial no plano xy).
  • \theta=\tfrac{5\pi}{6} (ângulo azimutal no plano xy).
  • z=4 (altura ao longo do eixo z).
    O que se pede:
  • Encontrar as coordenadas esféricas \bigl(\rho,\varphi,\theta\bigr) correspondentes.

Passo 2

Convencionando as esféricas que vou usar (a mais usada em cursos de matemática): \rho é a distância do ponto à origem, \varphi é o ângulo entre o vetor posição e o eixo positivo z (ou seja, o ângulo “a partir de z” — também chamado de colatitude, 0\le\varphi\le\pi), e \theta é o mesmo ângulo azimutal da coordenada cilíndrica. Em fórmulas:
\rho=\sqrt{r^{2}+z^{2}},\qquad \varphi=\operatorname{arccos}\!\left(\frac{z}{\rho}\right),\qquad \theta=\theta_{\text{cilindricas}}.
Explicando em palavras: \rho vem do teorema de Pitágoras no triângulo formado por r (no plano xy) e z; \varphi é o ângulo cujo cosseno é a razão da projeção sobre z pela distância total.

Passo 3

Calcular \rho usando \rho=\sqrt{r^{2}+z^{2}}. Substituindo os valores dados:
\rho=\sqrt{4^{2}+4^{2}}=\sqrt{16+16}=\sqrt{32}.
Simplificando \sqrt{32}:
\sqrt{32}=\sqrt{16\cdot 2}=4\sqrt{2}.

Passo 4

Calcular \varphi usando \varphi=\operatorname{arccos}\!\left(\dfrac{z}{\rho}\right). Substituindo z=4 e \rho=4\sqrt{2}:
\varphi=\operatorname{arccos}\!\left(\frac{4}{4\sqrt{2}}\right)=\operatorname{arccos}\!\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right).
Reconhecendo o ângulo cujo cosseno é 1/\sqrt{2}: esse é \dfrac{\pi}{4}, pois \cos\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{1}{\sqrt{2}}. Logo
\varphi=\frac{\pi}{4}.

Passo 5

O ângulo azimutal \theta nas coordenadas esféricas é o mesmo da cilíndrica (mesma projeção no plano xy), e o valor dado já está num intervalo aceitável [0,2\pi). Portanto
\theta=\frac{5\pi}{6}.

Passo 6

Reunindo os resultados: as coordenadas esféricas \bigl(\rho,\varphi,\theta\bigr) são
\left(4\sqrt{2},\,\frac{\pi}{4},\,\frac{5\pi}{6}\right).

Resposta

\displaystyle \left(4\sqrt{2},\,\frac{\pi}{4},\,\frac{5\pi}{6}\right)

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