Converta as coordenadas de cilíndricas para esféricas.
((4, \pi / 2,3))

Passo 1

O enunciado dá as coordenadas cilíndricas (r,\theta,z)=(4,\tfrac{\pi}{2},3) e pede para convertê‑las para coordenadas esféricas.
Informações dadas:
  • r=4 (raio no plano xy);
  • \theta=\tfrac{\pi}{2} (ângulo azimutal no plano xy);
  • z=3 (altura).
    O que se pede: encontrar as coordenadas esféricas correspondentes.

Passo 2

Vou fixar a convenção de esféricas que vou usar (é importante saber qual convenção é usada): as coordenadas esféricas serão (\rho,\theta,\varphi), onde
  • \rho é a distância do ponto à origem ( \rho\ge0);
  • \theta é o mesmo ângulo azimutal do cilindro (medido no plano xy, 0\le\theta<2\pi);
  • \varphi é o ângulo polar medido a partir do eixo +z (ou seja, \varphi=0 aponta para +z, 0\le\varphi\le\pi).
As relações entre coordenadas cilíndricas (r,\theta,z) e esféricas (\rho,\theta,\varphi) são:
\rho=\sqrt{r^{2}+z^{2}},
r=\rho\sin\varphi,\qquad z=\rho\cos\varphi,
portanto também vale
\varphi=\operatorname{arccos}\!\left(\frac{z}{\rho}\right)=\arctan\!\left(\frac{r}{z}\right)=\arcsin\!\left(\frac{r}{\rho}\right),
sendo conveniente usar a forma \varphi=\operatorname{arccos}(z/\rho) para evitar ambiguidades quando z e r tiverem sinais.

Passo 3

Calcular \rho usando \rho=\sqrt{r^{2}+z^{2}}. Substituindo os valores dados:
\rho=\sqrt{4^{2}+3^{2}}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5.

Passo 4

Determinar \theta. Na convenção adotada \theta é o mesmo ângulo azimutal do sistema cilíndrico, logo
\theta=\frac{\pi}{2}.
Como verificação rápida, pelas coordenadas cartesianas x=r\cos\theta, y=r\sin\theta temos
x=4\cos\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=0,\qquad y=4\sin\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=4,
e \theta=\operatorname{atan2}(y,x)=\tfrac{\pi}{2}, consistente.

Passo 5

Calcular \varphi. Uso \varphi=\operatorname{arccos}\!\left(\dfrac{z}{\rho}\right). Substituindo os valores:
\varphi=\operatorname{arccos}\!\left(\frac{3}{5}\right).
Também é útil notar formas equivalentes numéricas:
\varphi=\arctan\!\left(\frac{r}{z}\right)=\arctan\!\left(\frac{4}{3}\right),
ou
\varphi=\arcsin\!\left(\frac{4}{5}\right).
Aproximação em radianos:
\varphi\approx0{,}9273\\ \text{rad}\quad(\approx53{,}13^\circ).

Passo 6

Juntando tudo, na convenção (\rho,\theta,\varphi) obtemos a coordenada esférica do ponto. Parabéns — já converteu!

Resposta

\left(5,\\ \tfrac{\pi}{2},\\ \operatorname{arccos}\!\left(\tfrac{3}{5}\right)\right)

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