Converta as coordenadas de esféricas para retangulares.
Passo 1
O enunciado pede para converter a coordenada esférica
para coordenadas retangulares.
Dados fornecidos (pegos do enunciado):
Dados fornecidos (pegos do enunciado):
Passo 2
Fórmulas de conversão (forma padrão usada aqui):
Explicando cada símbolo de forma bem direta:
-
é a distância do ponto à origem (um número não negativo). -
é o ângulo no plano medido a partir do eixo positivo (azimute). -
é o ângulo medido a partir do eixo positivo (colatitude, ou seja, aponta para cima no eixo ).
As fórmulas acima vêm da projeção do vetor posição:projetado no plano vale , e sua componente é .
Passo 3
Calcular os valores trigonométricos que aparecem nas fórmulas (usar a circunferência trigonométrica):
-
. -
. -
. -
.
Observação intuitiva:
significa que o ponto está no plano
(porque a componente
será zero).
aponta para a direção negativa do eixo
na circunferência unitária, daí
e
.
Passo 4
Agora aplicar as fórmulas com os valores calculados:
Passo 5
Checagem rápida de coerência: como
esperávamos
— confirmado. Como
esperávamos que a projeção no plano
ficasse no eixo negativo
— confirmado por
.
Passo 6
Nota sobre convenções (por que usei as fórmulas acima): existem duas convenções frequentes para nomes das componentes angulares (algumas áreas trocam
e
). Adotei a convenção matemática padrão onde as coordenadas vêm na ordem
com
medindo a partir do eixo
. Se o problema usasse a ordem alternativa, os cálculos seriam diferentes; como o enunciado usou a notação típica e não pediu outra convenção, a escolha é a mais comum em cálculo multivariável.