Converta as coordenadas de esféricas para retangulares.
((2,3 \pi / 2, \pi / 2))

Passo 1

O enunciado pede para converter a coordenada esférica \bigl(2,\tfrac{3\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\bigr) para coordenadas retangulares.
Dados fornecidos (pegos do enunciado):
  • \rho = 2
  • \theta = \dfrac{3\pi}{2}
  • \varphi = \dfrac{\pi}{2}

Passo 2

Fórmulas de conversão (forma padrão usada aqui):
x=\rho\sin\varphi\cos\theta,\qquad y=\rho\sin\varphi\sin\theta,\qquad z=\rho\cos\varphi.
Explicando cada símbolo de forma bem direta:
  • \rho é a distância do ponto à origem (um número não negativo).
  • \theta é o ângulo no plano xy medido a partir do eixo x positivo (azimute).
  • \varphi é o ângulo medido a partir do eixo z positivo (colatitude, ou seja, \varphi=0 aponta para cima no eixo z).
    As fórmulas acima vêm da projeção do vetor posição: \rho projetado no plano xy vale \rho\sin\varphi, e sua componente z é \rho\cos\varphi.

Passo 3

Calcular os valores trigonométricos que aparecem nas fórmulas (usar a circunferência trigonométrica):
  • \sin\varphi=\sin\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=1.
  • \cos\varphi=\cos\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=0.
  • \cos\theta=\cos\!\left(\dfrac{3\pi}{2}\right)=0.
  • \sin\theta=\sin\!\left(\dfrac{3\pi}{2}\right)=-1.
Observação intuitiva: \varphi=\tfrac{\pi}{2} significa que o ponto está no plano xy (porque a componente z será zero). \theta=\tfrac{\pi}{2} aponta para a direção negativa do eixo y na circunferência unitária, daí \cos\theta=0 e \sin\theta=-1.

Passo 4

Agora aplicar as fórmulas com os valores calculados:
  • x=\rho\sin\varphi\cos\theta = 2\cdot 1 \cdot 0 = 0.
  • y=\rho\sin\varphi\sin\theta = 2\cdot 1 \cdot (-1) = -2.
  • z=\rho\cos\varphi = 2\cdot 0 = 0.

Passo 5

Checagem rápida de coerência: como \varphi=\tfrac{\pi}{2} esperávamos z=0 — confirmado. Como \theta=\tfrac{\\ 3pi}{2} esperávamos que a projeção no plano xy ficasse no eixo negativo y — confirmado por y=-2.

Passo 6

Nota sobre convenções (por que usei as fórmulas acima): existem duas convenções frequentes para nomes das componentes angulares (algumas áreas trocam \theta e \varphi). Adotei a convenção matemática padrão onde as coordenadas vêm na ordem (\rho,\theta,\varphi) com \varphi medindo a partir do eixo z. Se o problema usasse a ordem alternativa, os cálculos seriam diferentes; como o enunciado usou a notação típica e não pediu outra convenção, a escolha é a mais comum em cálculo multivariável.

Resposta

(0,-2,0)

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