Converta as coordenadas de esféricas para retangulares.
((4, \pi / 2, \pi / 3))

Passo 1

O enunciado dá as coordenadas esféricas \bigl(4,\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{3}\bigr) e pede para convertê‑las em coordenadas retangulares (x,y,z).
Informações dadas:
  • \rho = 4 (distância do ponto à origem),
  • \theta = \tfrac{\pi}{2} (ângulo no plano xy medido a partir do eixo x),
  • \varphi = \tfrac{\pi}{3} (ângulo medido a partir do eixo z, isto é, inclinação).

Passo 2

Escolhi a convenção padrão de cálculo para coordenadas esféricas: as coordenadas são (\rho,\theta,\varphi) com
  • \rho = distância radial ( \rho\ge0),
  • \theta = ângulo azimutal no plano xy medido a partir do eixo x ( 0\le\theta<2\pi ),
  • \varphi = ângulo de inclinação medido a partir do eixo positivo z ( 0\le\varphi\le\pi ).
Aviso rápido: existem outras convenções (por exemplo algumas usam \varphi como o ângulo azimutal), mas a convenção acima é a mais comum em cursos de cálculo. Se outra convenção fosse usada, as fórmulas mudariam; aqui estou usando as fórmulas associadas à convenção descrita.

Passo 3

As fórmulas de conversão (na convenção escolhida) são:
x = \rho \sin\varphi \cos\theta,
y = \rho \sin\varphi \sin\theta,
z = \rho \cos\varphi.
Explicação didática rápida: projetando o ponto sobre o plano xy obtém‑se um raio r=\rho\sin\varphi; então x=r\cos\theta e y=r\sin\theta. O componente z vem da projeção direta sobre o eixo z: z=\rho\cos\varphi.

Passo 4

Calcule as razões trigonométricas necessárias para os ângulos dados:
\sin\!\left(\tfrac{\pi}{3}\right)=\tfrac{\sqrt{3}}{2},\qquad \cos\!\left(\tfrac{\pi}{3}\right)=\tfrac{1}{2},
\cos\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=0,\qquad \sin\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=1.

Passo 5

Substituindo \rho=\!4, \theta=\tfrac{\pi}{2} e \varphi=\tfrac{\pi}{3} nas fórmulas:
x = 4\sin\!\left(\tfrac{\pi}{3}\right)\cos\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right) = 4\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot 0 = 0,
y = 4\sin\!\left(\tfrac{\pi}{3}\right)\sin\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right) = 4\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot 1 = 4\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3},
z = 4\cos\!\left(\tfrac{\pi}{3}\right) = 4\cdot\frac{1}{2} = 2.

Passo 6

Portanto as coordenadas retangulares exatas são \bigl(0,\,2\sqrt{3},\,2\bigr). Se for útil, a forma aproximada seria \bigl(0,\;3{,}464\ldots,\;2\bigr).

Resposta

\bigl(0,\,2\sqrt{3},\,2\bigr)

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