Converta as coordenadas de cilíndricas para esféricas.
Passo 1
O enunciado pede para converter coordenadas cilíndricas para coordenadas esféricas. As informações dadas são:
- Coordenadas cilíndricas
.
O objetivo é encontrar as coordenadas esféricas correspondentes (usar a convenção abaixo).
Passo 2
Vamos fixar a convenção de coordenadas esféricas que usaremos (convencional em muitos cursos): as coordenadas esféricas serão
, onde
-
é a distância do ponto à origem (sempre ); -
é o ângulo polar medido a partir do eixo positivo (ou seja, ); -
é o ângulo azimutal no plano (mesmo das coordenadas cilíndricas).
As fórmulas de conversão entre cilíndricas
e esféricas
são:
Comentário pedagógico:
vem direto da fórmula da distância em três dimensões. A fórmula para
decorre de
. Alternativamente, quando
, pode-se usar
, isto é
.
Passo 3
Calcular
usando
e
:
Explicação: fiz ao quadrado cada termo, somei e tirei a raiz quadrada;
simplifica para
.
Passo 4
Calcular
usando
. Primeiro avalio a fração:
Simplifico essa razão:
Portanto
Lembrando os ângulos notáveis,
. (Verificação alternativa:
, então
.)
Passo 5
O ângulo azimutal
em coordenadas esféricas coincide com o
das coordenadas cilíndricas, então
Passo 6
Juntando os resultados obtidos: