Converta as coordenadas de cilíndricas para esféricas.
(\sqrt{3}, \pi / 6,3)

Passo 1

O enunciado pede para converter coordenadas cilíndricas para coordenadas esféricas. As informações dadas são:
  • Coordenadas cilíndricas \bigl(r,\theta,z\bigr) = \bigl(\sqrt{3},\,\tfrac{\pi}{6},\,3\bigr).
O objetivo é encontrar as coordenadas esféricas correspondentes (usar a convenção abaixo).

Passo 2

Vamos fixar a convenção de coordenadas esféricas que usaremos (convencional em muitos cursos): as coordenadas esféricas serão \bigl(\rho,\varphi,\theta\bigr), onde
  • \rho é a distância do ponto à origem (sempre \rho\ge 0);
  • \varphi é o ângulo polar medido a partir do eixo z positivo (ou seja, \varphi\in[0,\pi]);
  • \theta é o ângulo azimutal no plano xy (mesmo \theta das coordenadas cilíndricas).
As fórmulas de conversão entre cilíndricas \bigl(r,\theta,z\bigr) e esféricas \bigl(\rho,\varphi,\theta\bigr) são:
\rho=\sqrt{r^{2}+z^{2}},
\varphi=\operatorname{arccos}\!\left(\frac{z}{\rho}\right),
\theta_{\text{esf}}=\theta_{\text{cil}}.
Comentário pedagógico: \rho vem direto da fórmula da distância em três dimensões. A fórmula para \varphi decorre de \cos\varphi = z/\rho. Alternativamente, quando z>0, pode-se usar \tan\varphi = r/z, isto é \varphi=\arctan\!\left(\dfrac{r}{z}\right).

Passo 3

Calcular \rho usando r=\sqrt{3} e z=3:
\rho=\sqrt{r^{2}+z^{2}}=\sqrt{\bigl(\sqrt{3}\bigr)^{2}+3^{2}}=\sqrt{3+9}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}.
Explicação: fiz ao quadrado cada termo, somei e tirei a raiz quadrada; \sqrt{12} simplifica para 2\sqrt{3}.

Passo 4

Calcular \varphi usando \varphi=\operatorname{arccos}\!\left(\dfrac{z}{\rho}\right). Primeiro avalio a fração:
\frac{z}{\rho}=\frac{3}{2\sqrt{3}}.
Simplifico essa razão:
\frac{3}{2\sqrt{3}}=\frac{3\sqrt{3}}{2\cdot 3}=\frac{\sqrt{3}}{2}.
Portanto
\varphi=\operatorname{arccos}\!\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right).
Lembrando os ângulos notáveis, \operatorname{arccos}\!\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)=\dfrac{\pi}{6}. (Verificação alternativa: \tan\varphi = \dfrac{r}{z} = \dfrac{\sqrt{3}}{3}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}, então \varphi=\arctan\!\bigl(\tfrac{1}{\sqrt{3}}\bigr)=\tfrac{\pi}{6}.)

Passo 5

O ângulo azimutal \theta em coordenadas esféricas coincide com o \theta das coordenadas cilíndricas, então
\theta=\frac{\pi}{6}.

Passo 6

Juntando os resultados obtidos:
\rho=2\sqrt{3},\qquad \varphi=\frac{\pi}{6},\qquad \theta=\frac{\pi}{6}.

Resposta

\displaystyle \bigl(\rho,\varphi,\theta\bigr)=\left(2\sqrt{3},\,\frac{\pi}{6},\,\frac{\pi}{6}\right)

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