Converta as coordenadas cilíndricas ( r, \theta, z ) em cartesianas ( x, y, z ) e esféricas ( \rho, \theta, \varphi )
\left(5 \sqrt{2}, \frac{7 \pi}{4},-2\right)

Passo 1

O enunciado pede para converter em coordenadas cartesianas e esféricas o ponto dado em coordenadas cilíndricas (r,\theta,z) = \bigl(5\sqrt{2},\,\tfrac{7\pi}{4},\,-2\bigr). O conteúdo aqui é transformação entre sistemas de coordenadas em 3D; vamos usar as fórmulas de conversão padrão.

Passo 2

Para obter as coordenadas cartesianas usamos
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,\quad z = z.

Passo 3

Substituindo r=5\sqrt{2} e \theta=\tfrac{7\pi}{4}, temos
x = 5\sqrt{2}\cos\!\Bigl(\tfrac{7\pi}{4}\Bigr) = 5\sqrt{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2} = 5,
y = 5\sqrt{2}\sin\!\Bigl(\tfrac{7\pi}{4}\Bigr) = 5\sqrt{2}\cdot\Bigl(-\frac{\sqrt{2}}{2}\Bigr) = -5,
e mantemos
z = -2.

Passo 4

Para coordenadas esféricas (\rho,\theta,\varphi) usamos
\rho = \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}},\quad \theta = \theta,\quad \varphi = \operatorname{arccos}\!\bigl(\tfrac{z}{\rho}\bigr).

Passo 5

Calculando \rho:
\rho = \sqrt{5^{2} + (-5)^{2} + (-2)^{2}} = \sqrt{25 + 25 + 4} = \sqrt{54} = 3\sqrt{6}.

Passo 6

O ângulo \theta permanece \tfrac{7\pi}{4}.

Passo 7

O ângulo \varphi é
\varphi = \operatorname{arccos}\!\Bigl(\tfrac{-2}{3\sqrt{6}}\Bigr).

Resposta

Coordenadas cartesianas: (5,-5,-2)
Coordenadas esféricas: \bigl(3\sqrt{6},\,\tfrac{7\pi}{4},\,\operatorname{arccos}\bigl(-\tfrac{2}{3\sqrt{6}}\bigr)\bigr)

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