Converta \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{\sqrt{2}} \int_{r}^{\sqrt{4-r^{2}}} 3 r d z d r d \theta para:
(a) coordenadas retangulares com a ordem de integração d z d x d y;
(b) coordenadas esféricas;
(c) Avalie uma das integrais.
Passo 1
O enunciado dá a integral em coordenadas cilíndricas
que representa o volume do sólido limitado abaixo pelo cone z=r e acima pela esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=4. Vamos (a) reescrever em coordenadas retangulares com ordem dz\,dx\,dy, (b) em coordenadas esféricas (\rho,\varphi,\theta), e (c) avaliar uma delas.
Passo 2
Em retangulares usamos r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}. A projeção no plano xy é x^{2}+y^{2}\le2, ou seja
Para cada (x,y) fixos, z vai de z=\sqrt{x^{2}+y^{2}} (cone) até z=\sqrt{4-(x^{2}+y^{2})} (esfera). Além disso dV=dz\,dx\,dy e 3r=3\sqrt{x^{2}+y^{2}}. Logo a integral fica
O cone z=r dá \varphi=\pi/4, e a esfera interna é \rho=2. Como para 0\le\varphi\le\pi/4 vale \rho\sin\varphi\le\sqrt2 mas \rho\le2 é mais restritivo, teremos