Converta \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{\sqrt{2}} \int_{r}^{\sqrt{4-r^{2}}} 3 r d z d r d \theta para:
(a) coordenadas retangulares com a ordem de integração d z d x d y;
(b) coordenadas esféricas;
(c) Avalie uma das integrais.

Passo 1

O enunciado dá a integral em coordenadas cilíndricas
\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\sqrt{2}}\int_{r}^{\sqrt{4-r^{2}}}3\,r\,dz\,dr\,d\theta
que representa o volume do sólido limitado abaixo pelo cone z=r e acima pela esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=4. Vamos (a) reescrever em coordenadas retangulares com ordem dz\,dx\,dy, (b) em coordenadas esféricas (\rho,\varphi,\theta), e (c) avaliar uma delas.

Passo 2

Em retangulares usamos r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}. A projeção no plano xy é x^{2}+y^{2}\le2, ou seja
-\,\sqrt{2}\le y\le\sqrt{2},\qquad -\sqrt{2-y^{2}}\le x\le\sqrt{2-y^{2}}.
Para cada (x,y) fixos, z vai de z=\sqrt{x^{2}+y^{2}} (cone) até z=\sqrt{4-(x^{2}+y^{2})} (esfera). Além disso dV=dz\,dx\,dy e 3r=3\sqrt{x^{2}+y^{2}}. Logo a integral fica
\int_{y=-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \int_{x=-\sqrt{2-y^{2}}}^{\sqrt{2-y^{2}}} \int_{z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}}^{\sqrt{4-(x^{2}+y^{2})}} 3\,\sqrt{x^{2}+y^{2}}\; dz\,dx\,dy.

Passo 3

Em esféricas tomamos
x=\rho\sin\varphi\cos\theta,\quad y=\rho\sin\varphi\sin\theta,\quad z=\rho\cos\varphi,\quad dV=\rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.
O cone z=r \varphi=\pi/4, e a esfera interna é \rho=2. Como para 0\le\varphi\le\pi/4 vale \rho\sin\varphi\le\sqrt2 mas \rho\le2 é mais restritivo, teremos
0\le\theta\le2\pi,\quad 0\le\varphi\le\frac{\pi}{4},\quad 0\le\rho\le2.
Além disso 3r=3\,\rho\sin\varphi. Portanto
\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi/4}\int_{0}^{2} 3\,(\rho\sin\varphi)\,\rho^{2}\sin\varphi\; d\rho\,d\varphi\,d\theta =\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi/4}\int_{0}^{2} 3\,\rho^{3}\sin^{2}\varphi\; d\rho\,d\varphi\,d\theta.

Passo 4

Vamos avaliar a forma esférica:
separamos fatores
3\int_{0}^{2\pi}d\theta\;\int_{0}^{\pi/4}\sin^{2}\varphi\,d\varphi\;\int_{0}^{2}\rho^{3}\,d\rho.
Calculamos em partes:
\displaystyle\int_{0}^{2\pi}d\theta=2\pi,
\displaystyle\int_{0}^{2}\rho^{3}d\rho=\frac{2^{4}}{4}=4,
\displaystyle\int_{0}^{\pi/4}\sin^{2}\varphi\,d\varphi =\frac12\Bigl(\varphi-\tfrac12\sin2\varphi\Bigr)\Big|_{0}^{\pi/4} =\frac12\Bigl(\tfrac{\pi}{4}-\tfrac12\Bigr) =\frac{\pi}{8}-\frac14.
Multiplicando tudo:
3\;\times2\pi\;\times4\;\times\Bigl(\frac{\pi}{8}-\frac14\Bigr) =24\pi\Bigl(\frac{\pi}{8}-\frac14\Bigr) =3\pi^{2}-6\pi.

Resposta

(a) \int_{y=-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \int_{x=-\sqrt{2-y^{2}}}^{\sqrt{2-y^{2}}} \int_{z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}}^{\sqrt{4-(x^{2}+y^{2})}} 3\,\sqrt{x^{2}+y^{2}}\; dz\,dx\,dy.
(b) \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi/4}\int_{0}^{2} 3\,\rho^{3}\sin^{2}\varphi\; d\rho\,d\varphi\,d\theta.
(c) O valor da integral é 3\pi^{2}-6\pi.

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