Determine as equações dos planos tangentes a f(x, y)=3+x^{2}+y^{2} que contêm o eixo O y.

Passo 1

Resumindo o enunciado: estamos com a superfície
z = 3 + x^2 + y^2
e queremos achar os planos tangentes que contêm o eixo Oy. Para isso, vamos obter a fórmula do plano tangente em um ponto genérico e depois impor a condição de que todo ponto (0,y,0) satisfaça esse plano.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de f(x,y)=3+x^2+y^2:
\frac{\partial f}{\partial x}=2x e \frac{\partial f}{\partial y}=2y.
Num ponto (x_0,y_0,z_0) da superfície, com z_0=3+x_0^2+y_0^2, o plano tangente é:
z - z_0 \;=\; 2x_0\,(x - x_0)\;+\;2y_0\,(y - y_0).

Passo 3

Vamos colocar essa expressão numa forma mais direta. Expandindo e rearranjando, obtemos
z = 2x_0\,x \;+\;2y_0\,y \;-\;x_0^2 \;-\;y_0^2 \;+\;3.

Passo 4

Para que o plano contenha o eixo Oy, todos os pontos (0,y,0) devem satisfazer essa equação, para qualquer y. Substituindo x=0 e z=0, vem
0 = 2y_0\,y \;-\;x_0^2 \;-\;y_0^2 \;+\;3.
Como isso tem de ser verdade para todo y, o coeficiente de y tem de ser zero, logo
2y_0 = 0 \quad\Longrightarrow\quad y_0 = 0.
E o termo constante também deve anular:
-\,x_0^2 + 3 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x_0^2 = 3 \quad\Longrightarrow\quad x_0 = \pm \sqrt{3}.

Passo 5

Portanto há dois pontos de tangência: \bigl(\sqrt{3},0,6\bigr) e \bigl(-\sqrt{3},0,6\bigr). Em ambos temos y_0=0 e -x_0^2- y_0^2+3=0, de modo que a equação do plano se reduz a
z = 2x_0\,x,
com x_0 = \pm \sqrt{3}. Ou seja, os dois planos são
z = 2\sqrt{3}\,x \quad\text{e}\quad z = -2\sqrt{3}\,x.

Resposta

z = 2\sqrt{3}\,x
z = -2\sqrt{3}\,x

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