Determine as equações dos planos tangentes a
que contêm o eixo
.
Passo 1
Resumindo o enunciado: estamos com a superfície
e queremos achar os planos tangentes que contêm o eixo
. Para isso, vamos obter a fórmula do plano tangente em um ponto genérico e depois impor a condição de que todo ponto
satisfaça esse plano.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais de
:
e
.
Num ponto da superfície, com
, o plano tangente é:
Num ponto
Passo 3
Vamos colocar essa expressão numa forma mais direta. Expandindo e rearranjando, obtemos
Passo 4
Para que o plano contenha o eixo
, todos os pontos
devem satisfazer essa equação, para qualquer
. Substituindo
e
, vem
Como isso tem de ser verdade para todo
, o coeficiente de
tem de ser zero, logo
E o termo constante também deve anular:
Passo 5
Portanto há dois pontos de tangência:
e
. Em ambos temos
e
, de modo que a equação do plano se reduz a
com
. Ou seja, os dois planos são