Encontre os pontos críticos de f(x, y)=x^{3} y+12 x^{2}-8 y. Em seguida, use o Teste da Segunda Derivada para determinar se eles são mínimos locais, máximos locais ou pontos de sela (ou indique que o teste falha).

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os pontos críticos de
f(x,y)=x^3y+12x^2-8y
e, em seguida, usar o Teste da Segunda Derivada (Hessiana) para decidir se cada ponto crítico é mínimo local, máximo local ou ponto de sela. Para isso vamos precisar de derivadas parciais de primeira ordem (para achar pontos críticos) e de segunda ordem (para aplicar o teste).

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais de primeira ordem e igualemos a zero:
\frac{\partial f}{\partial x}=3x^2y+24x,\qquad \frac{\partial f}{\partial y}=x^3-8.
O sistema \nabla f=0\) é \[\begin{cases} 3x^2y+24x=0,\\\ x^3-8=0. \end{cases}
Da segunda equação vem x^3=8\], logo \(x=2. Substituindo em \partial f/\partial x=0:
3\cdot2^2\cdot y+24\cdot2=12y+48=0 \;\Longrightarrow\; y=-4.
Há um único ponto crítico: (2,-4).

Passo 3

Agora calculamos as segundas derivadas:
\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}=6xy+24,\quad \frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}=3x^2,\quad \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}=0.
Assim a matriz Hessiana é
Hf(x,y) =\begin{pmatrix} 6xy+24 & 3x^2\\\\ 3x^2 & 0 \end{pmatrix}.

Passo 4

Avalie a Hessiana em (2,-4):
f_{xx}(2,-4)=6\cdot2\cdot(-4)+24=-48+24=-24, \quad f_{xy}(2,-4)=3\cdot2^2=12, \quad f_{yy}(2,-4)=0.
O determinante da Hessiana é
D=f_{xx}f_{yy}-(f_{xy})^2 =(-24)\cdot0-(12)^2=-144<0.
Como D<0, o ponto crítico (2,-4) é um ponto de sela.

Resposta

O único ponto crítico é (2,-4), e pelo Teste da Segunda Derivada ele é um ponto de sela.

Exercícios relacionados