Resolva as integrais
\int_{0}^{2} \int_{0}^{4-x^{2}} \frac{x e^{2 y}}{4-y} d y d x

Passo 1

O enunciado pede o valor da integral dupla
\int_{0}^{2}\int_{0}^{4 - x^{2}}\frac{x\,e^{2y}}{4 - y}\,dy\,dx.
O conteúdo é troca de ordem de integração (Teorema de Fubini) para simplificar o cálculo.

Passo 2

Descrevemos a região
D = \{(x,y)\mid 0 \le x \le 2,\;0 \le y \le 4 - x^{2}\}.
Invertendo a ordem, y varia de 0 a 4 e, para cada y, x vai de 0 a \sqrt{4 - y}. Logo
\int_{0}^{2}\int_{0}^{4 - x^{2}}\frac{x\,e^{2y}}{4 - y}\,dy\,dx = \int_{0}^{4}\int_{0}^{\sqrt{4 - y}}\frac{x\,e^{2y}}{4 - y}\,dx\,dy.

Passo 3

Na integral interna em x, \tfrac{e^{2y}}{4-y} é constante, então
\int_{0}^{\sqrt{4 - y}}\frac{x\,e^{2y}}{4 - y}\,dx =\frac{e^{2y}}{4 - y}\int_{0}^{\sqrt{4 - y}}x\,dx =\frac{e^{2y}}{4 - y}\cdot\frac{(4 - y)}{2} =\frac12\,e^{2y}.
Portanto a integral torna-se
\int_{0}^{4}\frac12\,e^{2y}\,dy.

Passo 4

Calculamos
\int_{0}^{4}\frac12\,e^{2y}\,dy =\frac12\cdot\frac{1}{2}\Bigl[e^{2y}\Bigr]_{0}^{4} =\frac{1}{4}\bigl(e^{8}-1\bigr).

Resposta

\displaystyle \frac{e^{8}-1}{4}

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