Seja h(x, y)=x f\left(x^{2}-y, 2 y, 4 x+y\right). Expresse as derivadas parciais de h com relação às de f.

Passo 1

O enunciado define
h(x,y)=x\,f\bigl(x^{2}-y,\;2y,\;4x+y\bigr),
onde f é função de três variáveis. Para obter \partial h/\partial x e \partial h/\partial y vamos usar a regra do produto (para o fator x) e a regra da cadeia em várias variáveis (para f(u,v,w)).

Passo 2

Definimos as funções intermédias
u(x,y)=x^{2}-y,\quad v(x,y)=2y,\quad w(x,y)=4x+y,
de modo que
h(x,y)=x\,f\bigl(u(x,y),\,v(x,y),\,w(x,y)\bigr).

Passo 3

Para \partial h/\partial x aplicamos a regra do produto:
\frac{\partial h}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x\bigr)\,f\bigl(u,v,w\bigr) + x\,\frac{\partial}{\partial x}f\bigl(u,v,w\bigr).
Como \partial (x)/\partial x=1, fica
\frac{\partial h}{\partial x} =f\bigl(u,v,w\bigr) + x\,\frac{\partial}{\partial x}f\bigl(u,v,w\bigr).

Passo 4

Ainda para \partial h/\partial x, usamos a regra da cadeia em f(u,v,w):
\frac{\partial}{\partial x}f(u,v,w) =f_{1}(u,v,w)\,\frac{\partial u}{\partial x} +f_{2}(u,v,w)\,\frac{\partial v}{\partial x} +f_{3}(u,v,w)\,\frac{\partial w}{\partial x},
onde f_{i}=\partial f/\partial i-ésima variável.

Passo 5

Calculamos as derivadas de u,v,w em relação a x:
\frac{\partial u}{\partial x}=2x,\quad \frac{\partial v}{\partial x}=0,\quad \frac{\partial w}{\partial x}=4.
Substituindo em \partial h/\partial x obtém-se
\frac{\partial h}{\partial x} =f(u,v,w) + x\bigl[\,f_{1}(u,v,w)\,2x + f_{2}(u,v,w)\,0 + f_{3}(u,v,w)\,4\bigr].

Passo 6

Para \partial h/\partial y aplicamos a regra do produto:
\frac{\partial h}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}(x)\,f(u,v,w) + x\,\frac{\partial}{\partial y}f(u,v,w).
Como \partial (x)/\partial y=0, temos
\frac{\partial h}{\partial y} =x\,\frac{\partial}{\partial y}f(u,v,w).

Passo 7

Usamos a regra da cadeia para \partial f/\partial y:
\frac{\partial}{\partial y}f(u,v,w) =f_{1}(u,v,w)\,\frac{\partial u}{\partial y} +f_{2}(u,v,w)\,\frac{\partial v}{\partial y} +f_{3}(u,v,w)\,\frac{\partial w}{\partial y}.
Calculamos
\frac{\partial u}{\partial y}=-1,\quad \frac{\partial v}{\partial y}=2,\quad \frac{\partial w}{\partial y}=1.

Passo 8

Substituindo em \partial h/\partial y resulta
\frac{\partial h}{\partial y} =x\bigl[\,f_{1}(u,v,w)(-1)+f_{2}(u,v,w)\,2+f_{3}(u,v,w)\,1\bigr].

Resposta

\frac{\partial h}{\partial x} =f\bigl(x^{2}-y,\,2y,\,4x+y\bigr) + x\bigl[\,2x\,f_{1}(x^{2}-y,2y,4x+y) +4\,f_{3}(x^{2}-y,2y,4x+y)\bigr],
\frac{\partial h}{\partial y} =x\bigl[-\,f_{1}(x^{2}-y,2y,4x+y) +2\,f_{2}(x^{2}-y,2y,4x+y) +f_{3}(x^{2}-y,2y,4x+y)\bigr].

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