Um número complexo z na forma polar tem módulo r=3 e argumento \theta=\frac{4 \pi}{3}. Determine a forma retangular (x+y i) de z e de seu conjugado \bar{z}.

Passo 1

O enunciado dá um número complexo na forma polar com módulo e argumento:
r=3,\qquad \theta=\frac{4\pi}{3}.
O que é pedido:
  • Determinar a forma retangular x+yi do número z correspondente a esses r e \theta.
  • Determinar a forma retangular do conjugado \overline{z}.

Passo 2

Lembrete prático: a relação entre forma polar e retangular é
z = r\big(\cos\theta + i\sin\theta\big).
Aqui r é o módulo (distância do ponto à origem) e \theta é o argumento (o ângulo medido a partir do eixo real positivo). Para obter a parte real x e a parte imaginária y usamos
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta.

Passo 3

Vamos calcular \cos\theta e \sin\theta para \theta=\dfrac{4\pi}{3}.
Observando que \dfrac{4\pi}{3}=\pi+\dfrac{\pi}{3}, usamos as fórmulas de soma com \pi:
\cos\!\left(\pi+\alpha\right)=-\cos\alpha,\qquad \sin\!\left(\pi+\alpha\right)=-\sin\alpha.
Tomando \alpha=\dfrac{\pi}{3} e sabendo que
\cos\!\left(\tfrac{\pi}{3}\right)=\tfrac{1}{2},\qquad \sin\!\left(\tfrac{\pi}{3}\right)=\tfrac{\sqrt{3}}{2},
obtemos
\cos\!\left(\tfrac{4\pi}{3}\right)=-\tfrac{1}{2},\qquad \sin\!\left(\tfrac{4\pi}{3}\right)=-\tfrac{\sqrt{3}}{2}.

Passo 4

Agora calculamos as partes real e imaginária multiplicando por r=3:
x = 3\cos\!\left(\tfrac{4\pi}{3}\right)=3\left(-\tfrac{1}{2}\right)=-\tfrac{3}{2},
y = 3\sin\!\left(\tfrac{4\pi}{3}\right)=3\left(-\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right)=-\tfrac{3\sqrt{3}}{2}.

Passo 5

Portanto a forma retangular do número z é
z = -\tfrac{3}{2} - \tfrac{3\sqrt{3}}{2}\,i.

Passo 6

O conjugado de um número complexo x+yi é x-yi: ele mantém a parte real e troca o sinal da parte imaginária. Aplicando aqui, o conjugado \overline{z} é
\overline{z} = -\tfrac{3}{2} + \tfrac{3\sqrt{3}}{2}\,i.

Passo 7

Verificação rápida (opcional, só para garantir): o módulo calculado pela forma retangular é
\sqrt{\left(-\tfrac{3}{2}\right)^{2}+\left(-\tfrac{3\sqrt{3}}{2}\right)^{2}} =\sqrt{\tfrac{9}{4}+\tfrac{27}{4}}=\sqrt{\tfrac{36}{4}}=\sqrt{9}=3,
que coincide com r, então está consistente.

Resposta

z=-\dfrac{3}{2}-\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\,i\n
\overline{z}=-\dfrac{3}{2}+\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\,i

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