Determine a forma polar do número complexo
. (Dica: encontre a forma polar do numerador e do denominador separadamente antes de efetuar a divisão).
Passo 1
O enunciado pede para determinar a forma polar do número complexo
.
Informações fornecidas:
Informações fornecidas:
- O numerador é o número complexo
. - O denominador é o número complexo
. - Dica: encontrar a forma polar do numerador e do denominador separadamente antes de efetuar a divisão.
Passo 2
Pequena aula sobre forma polar (passo-a-passo, sem pressa):
- Qualquer número complexo
pode ser escrito em forma polar como ou , onde: -
é o módulo (distância do ponto à origem), -
é o argumento (ângulo formado com o eixo real), dado por ; isto é, ajustado para o quadrante correto.
-
- Propriedade muito útil para divisão: se
e , então Ou, em forma trigonométrica,
Isso significa que, para dividir complexos, basta dividir os módulos e subtrair os argumentos.
Passo 3
Determinar a forma polar do numerador
:
- Identificar partes real e imaginária:
- parte real
, - parte imaginária
.
- parte real
- Calcular o módulo:
- Calcular o argumento: primeiro
bruto Sabe-se que , logo .
Comoe , o ponto está no quarto quadrante; o valor já está no quadrante correto. Assim - Conclusão do numerador (valores, sem montar a forma final aqui):
e .
Passo 4
Determinar a forma polar do denominador
:
- Identificar partes real e imaginária:
- parte real
, - parte imaginária
.
- parte real
- Calcular o módulo:
- Calcular o argumento: primeiro
bruto Porém, e significa segundo quadrante, então é preciso ajustar: o argumento correto é (ou equivalentemente reconhecer que o ângulo no segundo quadrante com tangente é .) - Conclusão do denominador (valores):
e .
Passo 5
Aplicar a propriedade da divisão de números em forma polar:
- O módulo do quociente é
(Simplificação: .) - O argumento do quociente é
Fazer a subtração com denominador comum : Esse valor está no intervalo principal , portanto não é necessário ajustar mais. - Assim os parâmetros da forma polar são
e .
(Não monto a expressão final neste passo para seguir a instrução de deixar a resposta final apenas na seção indicada.)
Passo 6
Verificação curta (opcional e didática, mostrando consistência com a forma retangular):
- Pode-se também calcular diretamente em forma algébrica multiplicando numerador e denominador pelo conjugado do denominador:
Desenvolvendo o numerador: Ou seja o numerador é . O denominador é Então, em forma retangular, Se calcular o módulo e o argumento desse número retangular obtém-se exatamente e , confirmando os valores obtidos acima.