Determine a forma polar do número complexo z=\frac{\sqrt{3}-i}{-1+i}. (Dica: encontre a forma polar do numerador e do denominador separadamente antes de efetuar a divisão).

Passo 1

O enunciado pede para determinar a forma polar do número complexo z=\dfrac{\sqrt{3}-i}{-1+i}.
Informações fornecidas:
  • O numerador é o número complexo \sqrt{3}-i.
  • O denominador é o número complexo -1+i.
  • Dica: encontrar a forma polar do numerador e do denominador separadamente antes de efetuar a divisão.

Passo 2

Pequena aula sobre forma polar (passo-a-passo, sem pressa):
  • Qualquer número complexo w=a+ib pode ser escrito em forma polar como w=r(\cos\theta+i\sin\theta) ou w=re^{i\theta}, onde:
    • r=\sqrt{a^{2}+b^{2}} é o módulo (distância do ponto à origem),
    • \theta é o argumento (ângulo formado com o eixo real), dado por \theta=\operatorname{atan2}(b,a); isto é, \arctan(b/a) ajustado para o quadrante correto.
  • Propriedade muito útil para divisão: se \,w_1=r_1e^{i\theta_1} e \,w_2=r_2e^{i\theta_2}, então \frac{w_1}{w_2}=\frac{r_1}{r_2}e^{i(\theta_1-\theta_2)}.Ou, em forma trigonométrica, \frac{w_1}{w_2}=\frac{r_1}{r_2}\big(\cos(\theta_1-\theta_2)+i\sin(\theta_1-\theta_2)\big).
Isso significa que, para dividir complexos, basta dividir os módulos e subtrair os argumentos.

Passo 3

Determinar a forma polar do numerador \sqrt{3}-i:
  • Identificar partes real e imaginária:
    • parte real a=\sqrt{3},
    • parte imaginária b=-1.
  • Calcular o módulo: r_{1}=\sqrt{a^{2}+b^{2}}=\sqrt{(\sqrt{3})^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{3+1}=\sqrt{4}=2.
  • Calcular o argumento: primeiro \arctan bruto \arctan\!\left(\frac{b}{a}\right)=\arctan\!\left(\frac{-1}{\sqrt{3}}\right)=\arctan\!\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right).Sabe-se que \tan\!\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{1}{\sqrt{3}}, logo \arctan\!\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=-\frac{\pi}{6}.
    Como a>0 e b<0, o ponto está no quarto quadrante; o valor -\frac{\pi}{6} já está no quadrante correto. Assim \theta_{1}=-\frac{\pi}{6}.
  • Conclusão do numerador (valores, sem montar a forma final aqui): r_{1}=2 e \theta_{1}=-\dfrac{\pi}{6}.

Passo 4

Determinar a forma polar do denominador -1+i:
  • Identificar partes real e imaginária:
    • parte real a=-1,
    • parte imaginária b=1.
  • Calcular o módulo: r_{2}=\sqrt{a^{2}+b^{2}}=\sqrt{(-1)^{2}+1^{2}}=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}.
  • Calcular o argumento: primeiro \arctan bruto \arctan\!\left(\frac{b}{a}\right)=\arctan\!\left(\frac{1}{-1}\right)=\arctan(-1)=-\frac{\pi}{4}.Porém, a<0 e b>0 significa segundo quadrante, então é preciso ajustar: o argumento correto é \theta_{2}=\pi+\arctan\!\left(\frac{b}{a}\right)=\pi-\frac{\pi}{4}=\frac{3\pi}{4}.(ou equivalentemente reconhecer que o ângulo no segundo quadrante com tangente 1 é \frac{3\pi}{4}.)
  • Conclusão do denominador (valores): r_{2}=\sqrt{2} e \theta_{2}=\dfrac{3\pi}{4}.

Passo 5

Aplicar a propriedade da divisão de números em forma polar:
  • O módulo do quociente é r=\frac{r_{1}}{r_{2}}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}.(Simplificação: \dfrac{2}{\sqrt{2}}=\dfrac{2\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}.)
  • O argumento do quociente é \theta=\theta_{1}-\theta_{2}=-\frac{\pi}{6}-\frac{3\pi}{4}.Fazer a subtração com denominador comum 12: -\frac{\pi}{6}-\frac{3\pi}{4}=-\frac{2\pi}{12}-\frac{9\pi}{12}=-\frac{11\pi}{12}.Esse valor está no intervalo principal (-\pi,\pi), portanto não é necessário ajustar mais.
  • Assim os parâmetros da forma polar são r=\sqrt{2} e \theta=-\dfrac{11\pi}{12}.
    (Não monto a expressão final neste passo para seguir a instrução de deixar a resposta final apenas na seção indicada.)

Passo 6

Verificação curta (opcional e didática, mostrando consistência com a forma retangular):
  • Pode-se também calcular diretamente em forma algébrica multiplicando numerador e denominador pelo conjugado do denominador: \frac{\sqrt{3}-i}{-1+i}=\frac{(\sqrt{3}-i)(-1-i)}{(-1+i)(-1-i)}.Desenvolvendo o numerador: (\sqrt{3}-i)(-1-i)=-\sqrt{3}-i\sqrt{3}+i+i^{2}=-\sqrt{3}-i\sqrt{3}+i-1.Ou seja o numerador é (-\sqrt{3}-1)+i(1-\sqrt{3}). O denominador é (-1+i)(-1-i)=(-1)^{2}-i^{2}=1-(-1)=2.Então, em forma retangular, z=\frac{-\sqrt{3}-1}{2}+i\frac{1-\sqrt{3}}{2}.Se calcular o módulo e o argumento desse número retangular obtém-se exatamente r=\sqrt{2} e \theta=-\dfrac{11\pi}{12}, confirmando os valores obtidos acima.

Resposta

\sqrt{2}e^{-i\frac{11\pi}{12}}
\sqrt{2}\big(\cos\big(-\tfrac{11\pi}{12}\big)+i\sin\big(-\tfrac{11\pi}{12}\big)\big)

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