Converta o número complexo z=-4 \sqrt{3}-4 i para a forma polar z=r(\cos \theta+i \sin \theta). Represente z no plano complexo, indicando claramente seu módulo ( r ) e seu argumento principal ( \theta ).

Passo 1

O enunciado nos dá o número complexo
z = -4\sqrt{3} \;-\; 4\,i
e pede para escrevê-lo na forma polar
z = r\bigl(\cos\theta + i\sin\theta\bigr),
identificando o módulo r e o argumento principal \theta. Para isso, vamos calcular r = |z| e depois determinar \theta pelo quociente \frac{\Im(z)}{\Re(z)} e pela posição de z no plano complexo.

Passo 2

Calculamos o módulo
r = |z| = \sqrt{\bigl(-4\sqrt{3}\bigr)^{2} + (-4)^{2}} = \sqrt{48 + 16} = \sqrt{64} = 8.

Passo 3

O argumento de referência \varphi satisfaz
\tan\varphi = \frac{\Im(z)}{\Re(z)} = \frac{-4}{-4\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}},
logo \varphi = \frac{\pi}{6}. Como \Re(z)<0 e \Im(z)<0, o ponto está no terceiro quadrante, e o argumento principal \theta fica
\theta = -\bigl(\pi + \varphi\bigr) + \pi = -\pi - \tfrac{\pi}{6} + \pi = -\tfrac{5\pi}{6}.

Passo 4

Escrevendo z na forma polar, temos
z = 8\bigl(\cos(-\tfrac{5\pi}{6}) + i\sin(-\tfrac{5\pi}{6})\bigr).

Passo 5

No plano complexo, o ponto correspondente a z é (-4\sqrt{3},-4). A reta que liga a origem a esse ponto tem comprimento 8 e faz um ângulo -\tfrac{5\pi}{6} (ou -150^\circ) com o eixo real positivo.

Resposta

r = 8, \quad \theta = -\tfrac{5\pi}{6}, \quad z = 8\bigl(\cos(-\tfrac{5\pi}{6}) + i\sin(-\tfrac{5\pi}{6})\bigr).

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