Um número complexo z na forma polar tem módulo r=5 e argumento \theta=\frac{5 \pi}{6}. Determine a forma retangular ( x+i y ) de z e de seu conjugado \bar{z}.

Passo 1

O enunciado dá um número complexo z em coordenadas polares com módulo r=5 e argumento \theta=\tfrac{5\pi}{6}. Para passar à forma retangular, vamos usar as fórmulas
x = r\cos\theta, \quad y = r\sin\theta.

Passo 2

Primeiro, calculamos os valores de \cos\theta e \sin\theta para \theta=\tfrac{5\pi}{6}:
\cos\bigl(\tfrac{5\pi}{6}\bigr) = -\tfrac{\sqrt{3}}{2}
\sin\bigl(\tfrac{5\pi}{6}\bigr) = \tfrac{1}{2}

Passo 3

Agora obtemos as coordenadas x e y:
x = 5 \cdot \bigl(-\tfrac{\sqrt{3}}{2}\bigr) = -\tfrac{5\sqrt{3}}{2}, \quad y = 5 \cdot \tfrac{1}{2} = \tfrac{5}{2}.

Passo 4

Portanto, a forma retangular de z é
z = -\tfrac{5\sqrt{3}}{2} + i\,\tfrac{5}{2},
e o seu conjugado \bar{z} inverte o sinal da parte imaginária:
\bar{z} = -\tfrac{5\sqrt{3}}{2} - i\,\tfrac{5}{2}.

Resposta

z = -\dfrac{5\sqrt{3}}{2} + i\,\dfrac{5}{2} \bar{z} = -\dfrac{5\sqrt{3}}{2} - i\,\dfrac{5}{2}

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