Verifique a propriedade \left|z_{1} \cdot z_{2}\right|=\left|z_{1}\right| \cdot\left|z_{2}\right| para os números z_{1}=1-i \sqrt{3} e z_{2}=\sqrt{2}+i \sqrt{2}. Realize os cálculos para os dois lados da igualdade e mostre que são idênticos.

Passo 1

O enunciado pede para verificar a propriedade de módulos de números complexos
\bigl|z_{1}\cdot z_{2}\bigr| = \bigl|z_{1}\bigr|\cdot \bigl|z_{2}\bigr|
nos complexos z_{1}=1 - i\sqrt{3} e z_{2}=\sqrt{2} + i\sqrt{2}. Vamos calcular separadamente o lado direito (produto dos módulos) e o módulo do produto z_{1}z_{2}.

Passo 2

Calcular \bigl|z_{1}\bigr|. Por definição
\bigl|z_{1}\bigr| = \sqrt{\bigl(\Re(z_{1})\bigr)^{2} + \bigl(\Im(z_{1})\bigr)^{2}} = \sqrt{1^{2} + \bigl(-\sqrt{3}\bigr)^{2}} = \sqrt{1 + 3} = 2.

Passo 3

Calcular \bigl|z_{2}\bigr|. De forma análoga,
\bigl|z_{2}\bigr| = \sqrt{\bigl(\Re(z_{2})\bigr)^{2} + \bigl(\Im(z_{2})\bigr)^{2}} = \sqrt{\bigl(\sqrt{2}\bigr)^{2} + \bigl(\sqrt{2}\bigr)^{2}} = \sqrt{2 + 2} = 2.

Passo 4

Obter o produto dos módulos (lado direito):
\bigl|z_{1}\bigr|\cdot \bigl|z_{2}\bigr| = 2 \cdot 2 = 4.

Passo 5

Calcular o produto z_{1}z_{2}:
z_{1}z_{2} = (1 - i\sqrt{3})\,(\sqrt{2} + i\sqrt{2}) = 1\cdot\sqrt{2} + 1\cdot i\sqrt{2} - i\sqrt{3}\,\sqrt{2} - i\sqrt{3}\,i\sqrt{2}.
Juntando termos e usando i^{2}=-1:
z_{1}z_{2} = \sqrt{2} + i\sqrt{2} - i\sqrt{6} - i^{2}\sqrt{6} = \sqrt{2} + i(\sqrt{2}-\sqrt{6}) + \sqrt{6} = (\sqrt{6} + \sqrt{2}) + i(\sqrt{2} - \sqrt{6}).

Passo 6

Calcular o módulo \bigl|z_{1}z_{2}\bigr|:
\bigl|z_{1}z_{2}\bigr| = \sqrt{(\sqrt{6} + \sqrt{2})^{2} + (\sqrt{2} - \sqrt{6})^{2}}.
Expandindo cada quadrado:
(\sqrt{6} + \sqrt{2})^{2} = 6 + 2 + 2\sqrt{12} = 8 + 4\sqrt{3},
(\sqrt{2} - \sqrt{6})^{2} = 2 + 6 - 2\sqrt{12} = 8 - 4\sqrt{3}.
Somando:
(8 + 4\sqrt{3}) + (8 - 4\sqrt{3}) = 16,
então
\bigl|z_{1}z_{2}\bigr| = \sqrt{16} = 4.

Passo 7

Comparando os dois lados temos
\bigl|z_{1}\bigr|\cdot \bigl|z_{2}\bigr| = 4 \quad\text{e}\quad \bigl|z_{1}z_{2}\bigr| = 4,
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\bigl|z_{1}z_{2}\bigr| = \bigl|z_{1}\bigr|\cdot \bigl|z_{2}\bigr|.

Resposta

A igualdade está verificada, pois ambos os lados valem 4.

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