Determine a forma usual (x+y i) do número complexo Z=\frac{i^{2026}+i^{15}}{i^{21}-i^{32}}. Apresente a simplificação de cada potência de i como parte da sua resolução.

Passo 1

O enunciado pede a forma usual x+yi de
Z = \frac{i^{2026} + i^{15}}{i^{21} - i^{32}}
e vamos usar o fato de que as potências de i são cíclicas de período 4.

Passo 2

Calculemos i^{2026}. Como
2026 \equiv 2 \pmod{4},
temos
i^{2026} = i^2 = -1.
De modo análogo, como
15 \equiv 3 \pmod{4},
segue
i^{15} = i^3 = -\,i.

Passo 3

Portanto o numerador fica
i^{2026} + i^{15} = -1 + (-\,i) = -1 - i.

Passo 4

Agora o denominador. Como
21 \equiv 1 \pmod{4},
temos
i^{21} = i^1 = i,
e como
32 \equiv 0 \pmod{4},
segue
i^{32} = i^0 = 1.
Logo o denominador é
i^{21} - i^{32} = i - 1.

Passo 5

Assim
Z = \frac{-1 - i}{\,i - 1\,}.

Passo 6

Para simplificar, multiplicamos numerador e denominador por 1+i, que é o conjugado de i-1 até sinal:
(i-1)(1+i) = i + i^2 -1 -i = -2,
(-1 - i)(1+i) = -1 - i - i - i^2 = -1 -2i +1 = -2i.

Passo 7

Logo
Z = \frac{-2i}{-2} = i.

Resposta

Z = i \quad\text{ou seja}\quad 0 + 1\,i.

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