Converta para polar: y=x.

Passo 1

O enunciado pede: converter a equação cartesiana y=x para coordenadas polares.
Informações fornecidas: a única equação é y=x. O objetivo é escrever essa mesma curva usando as variáveis polares r e \theta.

Passo 2

Lembrete rápido sobre coordenadas polares (o que cada coisa significa):
  • Em coordenadas polares um ponto no plano é dado por (r,\theta), onde r é a distância do ponto à origem (geralmente considera-se r\ge 0) e \theta é o ângulo entre o semieixo positivo x e o raio que chega ao ponto.
  • As relações entre as coordenadas cartesianas (x,y) e as polares (r,\theta) são:
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta.
Vou usar essas fórmulas para transformar y=x.

Passo 3

Substituindo x e y pelas expressões polares na equação y=x obtemos:
r\sin\theta = r\cos\theta.
Agora devemos estudar essa igualdade. Note que existe a possibilidade r=0 (o ponto (0,0), que pertence à reta y=x). Para os pontos com r\neq 0 podemos dividir ambos os lados por r sem problema e continuar.

Passo 4

Dividindo por r (caso r\neq 0):
\sin\theta = \cos\theta.
Passando para tangente (dividindo por \cos\theta, assumindo \cos\theta\neq0, e lembrando que a tangente tem período \pi):
\tan\theta = 1.
As soluções gerais de \tan\theta=1 são
\theta = \frac{\pi}{4} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z},
porque a tangente repete-se a cada \pi. Isso significa que a direção do raio que representa a reta y=x ocorre para \theta=\pi/4 e também para \theta=\pi/4+\pi (ou seja, a reta inteira: a direção e a direção oposta).

Passo 5

Interpretando tudo junto:
  • O ponto origem r=0 está incluído (satisfa z y=x).
  • Para pontos diferentes da origem, a reta y=x corresponde a ângulos \theta tais que \theta=\dfrac{\pi}{4}+k\pi. Se for exigido r\ge 0 (convenção comum), então a reta é obtida tomando \theta=\dfrac{\pi}{4} (para o semirreta que vai para o primeiro quadrante) e \theta=\dfrac{5\pi}{4} (para o semirreta oposta) — ou de forma compacta \theta=\dfrac{\pi}{4}+k\pi. Se permitir r real (incluindo negativos) basta \theta=\dfrac{\pi}{4} com r\in\mathbb{R}, pois r<0 inverte a direção do raio.

Resposta

\theta=\dfrac{\pi}{4}+k\pi,\\ k\in\mathbb{Z}

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