Converta para polar:
.
Passo 1
O enunciado pede: converter a equação cartesiana
para coordenadas polares.
Informações fornecidas: a única equação é . O objetivo é escrever essa mesma curva usando as variáveis polares
e
.
Informações fornecidas: a única equação é
Passo 2
Lembrete rápido sobre coordenadas polares (o que cada coisa significa):
- Em coordenadas polares um ponto no plano é dado por
, onde é a distância do ponto à origem (geralmente considera-se ) e é o ângulo entre o semieixo positivo e o raio que chega ao ponto. - As relações entre as coordenadas cartesianas
e as polares são:
Vou usar essas fórmulas para transformar
.
Passo 3
Substituindo
e
pelas expressões polares na equação
obtemos:
Agora devemos estudar essa igualdade. Note que existe a possibilidade
(o ponto
, que pertence à reta
). Para os pontos com
podemos dividir ambos os lados por
sem problema e continuar.
Passo 4
Dividindo por
(caso
):
Passando para tangente (dividindo por
, assumindo
, e lembrando que a tangente tem período
):
As soluções gerais de
são
porque a tangente repete-se a cada
. Isso significa que a direção do raio que representa a reta
ocorre para
e também para
(ou seja, a reta inteira: a direção e a direção oposta).
Passo 5
Interpretando tudo junto:
- O ponto origem
está incluído (satisfa z ). - Para pontos diferentes da origem, a reta
corresponde a ângulos tais que . Se for exigido (convenção comum), então a reta é obtida tomando (para o semirreta que vai para o primeiro quadrante) e (para o semirreta oposta) — ou de forma compacta . Se permitir real (incluindo negativos) basta com , pois inverte a direção do raio.