Converta para retangular:
.
Passo 1
O enunciado pede: "Converter para retangular a equação
(distância ao eixo origem) e
(ângulo).
- Não há outros dados numéricos além de no lado direito.)
- Não há outros dados numéricos além de
Passo 2
Explicação das relações entre coordenadas polares e retangulares (essas são as ferramentas que vamos usar).
As definições básicas são:
As definições básicas são:
O que cada símbolo significa:
-
e são as coordenadas cartesianas (retangulares) do ponto. -
é a distância do ponto à origem (sempre ). -
é o ângulo entre o raio-vetor e o eixo .
Essas fórmulas vêm da definição trigonométrica do cosseno e seno no triângulo formado pelo ponto.
Passo 3
Substituir
por sua expressão em termos de
e
.
Da relação segue que
Da relação
desde que
. Agora substituímos isso na equação dada
:
Passo 4
Eliminar
do denominador multiplicando ambos os lados por
. Isso dá uma equação em
e
:
Aqui multiplicar por
é legítimo; o caso
é contemplado na forma final (ver passo seguinte).
Passo 5
Trocar
por
usando
. Assim obtemos a equação inteiramente em termos de
e
:
Essa já é uma forma retangular válida. Observação: se
então
e a igualdade
é satisfeita, logo o caso
está incluído.
Passo 6
Colocar na forma padrão de circunferência (opcional, mas útil para interpretação). Reescrevemos completando o quadrado em
:
Adicionar e subtrair
(pois
):
Isolando a soma de quadrados:
Isso mostra que a curva é uma circunferência de centro
e raio
.