Converta para retangular: r=4 \cos \theta.

Passo 1

O enunciado pede: "Converter para retangular a equação \;r=4\cos\theta\;\". Informações dadas: - A equação está em coordenadas polares com as variáveis \(\;r\; (distância ao eixo origem) e \;\theta\; (ângulo).
- Não há outros dados numéricos além de 4 no lado direito.)

Passo 2

Explicação das relações entre coordenadas polares e retangulares (essas são as ferramentas que vamos usar).
As definições básicas são:
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,\qquad r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
O que cada símbolo significa:
  • \;x\; e \;y\; são as coordenadas cartesianas (retangulares) do ponto.
  • \;r\; é a distância do ponto à origem (sempre \ge 0).
  • \;\theta\; é o ângulo entre o raio-vetor e o eixo x.
    Essas fórmulas vêm da definição trigonométrica do cosseno e seno no triângulo formado pelo ponto.

Passo 3

Substituir \cos\theta por sua expressão em termos de x e r.
Da relação x = r\cos\theta segue que
\cos\theta = \frac{x}{r},
desde que r\neq 0. Agora substituímos isso na equação dada \;r=4\cos\theta\;:
r = 4\cdot\frac{x}{r}.

Passo 4

Eliminar \;r\; do denominador multiplicando ambos os lados por \;r\;. Isso dá uma equação em r^{2} e x:
r^{2} = 4x.
Aqui multiplicar por r é legítimo; o caso r=0 é contemplado na forma final (ver passo seguinte).

Passo 5

Trocar r^{2} por x^{2}+y^{2} usando \;r^{2}=x^{2}+y^{2}\;. Assim obtemos a equação inteiramente em termos de x e y:
x^{2}+y^{2} = 4x.
Essa já é uma forma retangular válida. Observação: se r=0 então x=0,y=0 e a igualdade 0=4\cdot0 é satisfeita, logo o caso r=0 está incluído.

Passo 6

Colocar na forma padrão de circunferência (opcional, mas útil para interpretação). Reescrevemos completando o quadrado em x:
x^{2}-4x+y^{2}=0.
Adicionar e subtrair 4 (pois (x-2)^{2}=x^{2}-4x+4):
(x-2)^{2}-4+y^{2}=0.
Isolando a soma de quadrados:
(x-2)^{2}+y^{2}=4.
Isso mostra que a curva é uma circunferência de centro (2,0) e raio 2.

Resposta

x^{2}+y^{2}=4x
(x-2)^{2}+y^{2}=4

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