Determine as coordenadas cartesianas do ponto cujo formato esférico é (9, 2 pi3, pi4 ).

Passo 1

O enunciado dá as coordenadas esféricas (rho,theta,varphi)=(9,tfrac2pi3,tfracpi4). O conteúdo é conversão de coordenadas esféricas para cartesianas, e vamos usar as definições de rho (distância até a origem), theta (ângulo no plano xy) e varphi (ângulo a partir do eixo z).

Passo 2

Em coordenadas esféricas usamos as fórmulas abaixo para passar a cartesianas:
x=rho,sinvarphi,costheta, y=rho,sinvarphi,sintheta, z=rho,cosvarphi

Passo 3

Agora calculamos as razões trigonométricas para theta=2pi/3 e varphi=pi/4:
sinvarphi=sinl(tfracpi4r)=raiz22, cosvarphi=raiz22,
costheta=cosl(tfrac2pi3r)=-tfrac12, sintheta=sinl(tfrac2pi3r)=raiz32

Passo 4

Substituindo na fórmula:
x=9cdotraiz22cdotl(-tfrac12r)=-9raiz24,
y=9cdotraiz22cdotraiz32=9raiz64,
z=9cdotraiz22=9raiz22

Resposta

As coordenadas cartesianas são l(-tfrac9raiz24,,tfrac9raiz64,,tfrac9raiz22r).

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