Converta as seguintes tensões em fasores no domínio da freqüência.
v_{1}(t)=12 \cos \left(2 \pi 400 t+60^{\circ}\right) \mathrm{V}.

Passo 1

O enunciado pede para “Converter as tensões em fasores no domínio da frequência.” A única tensão fornecida é
v_{1}(t)=12\cos\bigl(2\pi 400\,t+60^{\circ}\bigr)\\ \text{V}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
\text{Amplitude (pico)} = 12\\ \text{V},
\text{Fase} = 60^{\circ},
\text{Frequência} = 400\\ \text{Hz},ê
\text{Velocidade angular} = \omega = 2\pi\cdot 400 = 800\pi\\ \text{rad/s}.
O que o enunciado quer: representar essa tensão como um fasor (representação complexa no domínio da frequência). Não foi especificada a convenção (fasor em pico ou em valor eficaz/RMS), então vou mostrar as duas convenções e explicar como obter cada uma.

Passo 2

Conceito de fasor (explicação didática e simples).
Uma senoide no tempo do tipo
A\cos(\omega t+\varphi)
pode ser vista como a parte real de um exponencial complexo:
A\cos(\omega t+\varphi)=\Re\{A e^{j\varphi}e^{j\omega t}\}.
O fasor é justamente o valor complexo que multiplica e^{j\omega t}. Assim temos duas convenções comuns:
  • Fasor de pico (ou amplitude complexa): o fasor é A\angle\varphi (ou A e^{j\varphi}). Aqui A é a amplitude de pico.
  • Fasor em RMS (valor eficaz): o fasor é \dfrac{A}{\sqrt{2}}\angle\varphi (ou \dfrac{A}{\sqrt{2}}e^{j\varphi}). Muitos circuitos de corrente alternada usam a notação RMS porque potencia e impedâncias normalmente usam valores eficazes.
Explicando símbolos:
\;A = amplitude de pico (unidade: V),
\;\varphi = ângulo de fase (unidade: graus ou rad),
\;j = unidade imaginária ( j^2=-1),
\;e^{j\varphi}=\cos\varphi + j\sin\varphi.

Passo 3

Calculei a velocidade angular explicitamente (já mostrada no Passo 1), só para fixar:
\omega = 2\pi\cdot 400 = 800\pi\\ \text{rad/s}.
Isso confirma a frequência associada ao fasor. O fasor representa a amplitude e fase no domínio complexo; a dependência temporal \mathrm{e}^{j\omega t} fica implícita.

Passo 4

Fasor na convenção de pico (mais direto):
A forma padrão dá diretamente o fasor de pico
V_{\text{pico}} = 12\angle 60^{\circ}\\ \text{V}.
Se você quiser a forma retangular (útil para somar fasores), convertemos usando 12(\cos 60^\circ + j\sin 60^\circ):
\cos 60^\circ = \tfrac{1}{2},\qquad \sin 60^\circ = \tfrac{\sqrt{3}}{2}.
Logo
V_{\text{pico}} = 12\Bigl(\tfrac{1}{2} + j\tfrac{\sqrt{3}}{2}\Bigr) = 6 + j\,6\sqrt{3}\\ \text{V}.
Valor numérico aproximado:
6\sqrt{3}\approx 10{,}392\quad\Rightarrow\quad V_{\text{pico}}\approx 6 + j\,10{,}392\\ \text{V}.

Passo 5

Fasor na convenção RMS (muito usado em análise de potência e AC):
Dividimos a amplitude de pico por \sqrt{2}:
V_{\text{rms}} = \frac{12}{\sqrt{2}}\angle 60^{\circ}\\ \text{V}.
Podemos simplificar \dfrac{12}{\sqrt{2}} = 6\sqrt{2}. Então
V_{\text{rms}} = 6\sqrt{2}\angle 60^{\circ}\\ \text{V}.
Forma retangular (mostrando o passo de cálculo):
V_{\text{rms}} = 6\sqrt{2}\Bigl(\tfrac{1}{2} + j\tfrac{\sqrt{3}}{2}\Bigr) = 3\sqrt{2} + j\,3\sqrt{6}\\ \text{V}.
Aproximação numérica:
3\sqrt{2}\approx 4{,}243,\qquad 3\sqrt{6}\approx 7{,}349,
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V_{\text{rms}}\approx 4{,}243 + j\,7{,}349\\ \text{V}.

Passo 6

Resumo prático para a prova:
  • Se o enunciado pede simplesmente “o fasor”, confirme se o curso usa convensão RMS; se não for dito, mencionar ambos é seguro.
  • Para somas e operações com impedâncias normalmente se usa a mesma convenção para todos os sinais (tudo em pico ou tudo em RMS). Não misture.

Resposta

V_{\text{pico}}=12\angle 60^{\circ}\\ \text{V} = 6 + j\,6\sqrt{3}\\ \text{V}
V_{\text{rms}}=6\sqrt{2}\angle 60^{\circ}\\ \text{V} = 3\sqrt{2} + j\,3\sqrt{6}\\ \text{V}

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