Converta as seguintes tensões em fasores no domínio da freqüência.
v_{2}(t)=6 \operatorname{sen}\left(2 \pi 400 t-20^{\circ}\right) \mathrm{V}.

Passo 1

O enunciado pede para converter a tensão dada em fasor no domínio da frequência. A tensão fornecida é
v_{2}(t)=6\;\operatorname{sen}\!\left(2\pi 400\,t - 20^{\circ}\right)\\ \text{V}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
\text{Amplitude (valor de pico): }6\\ \text{V},
\text{Argumento angular temporal: }2\pi 400\,t - 20^{\circ},
\text{Frequência: }f=400\\ \text{Hz},ê
\text{Fase indicada (no seno): }-20^{\circ}.
A tarefa é representar essa tensão como um fasor (número complexo que representa amplitude e fase na frequência \,f=400\\ \text{Hz}\,).

Passo 2

Vamos recapitular didaticamente o que é um fasor e como proceder:
  • Um fasor é a representação complexa de uma senoide no domínio da frequência; compacta a informação de amplitude e fase, ignorando a dependência em \,t, (assumimos fator e^{j\omega t} comum).
  • Convencionalmente usamos a forma de referência com cosseno: \,A\cos(\omega t+\varphi)\,. O fasor de pico (amplitude) é \,A\angle\varphi\,. O fasor em unidades RMS é \,A/\sqrt{2}\angle\varphi\,.
  • Se a fonte estiver dada em seno ( \sin ), convertemos para cosseno usando a identidade
\sin(\theta)=\cos\left(\theta-90^{\circ}\right).
Explicando as variáveis:
A=\text{amplitude de pico},\quad \omega=2\pi f=\text{velocidade angular em rad/s},\quad \varphi=\text{fase em graus}.

Passo 3

Converter a função seno para um cosseno equivalente:
\operatorname{sen}\!\left(2\pi 400\,t - 20^{\circ}\right) = \cos\!\left(2\pi 400\,t - 20^{\circ} - 90^{\circ}\right) = \cos\!\left(2\pi 400\,t - 110^{\circ}\right).
Portanto, uma forma equivalente em cosseno é
v_{2}(t)=6\cos\!\left(2\pi 400\,t - 110^{\circ}\right)\\ \text{V}.
Isto mostra que a amplitude de pico continua sendo \,6\\ \text{V} e a fase (referida ao cosseno) é \,-110^{\circ}.

Passo 4

Determinar a velocidade angular:
\omega = 2\pi f = 2\pi \cdot 400 = 800\pi\\ \text{rad/s}.
Isso confirma que o fasor corresponde à frequência \,f=400\\ \text{Hz} (ou \omega=800\pi\\ \text{rad/s}).

Passo 5

Construir o fasor no formato de pico (amplitude), usando a fase obtida:
\tilde{V}_2 \;=\; 6\angle(-110^{\circ})\\ \text{V (pico)}.
Explicação: aqui \tilde{V}_2 é o número complexo que representa a amplitude de pico e a fase; ao multiplicá-lo por \cos(\omega t) ou usar \Re\{\tilde{V}_2 e^{j\omega t}\} recuperamos a tensão no tempo.

Passo 6

Converter o fasor de pico para fasor em RMS (operação comum em circuitos, porque potências reais usam valores RMS):
V_{2,\text{rms}}=\frac{6}{\sqrt{2}}\angle(-110^{\circ}) = 3\sqrt{2}\angle(-110^{\circ})\\ \text{V}.
Valor numérico aproximado:
\frac{6}{\sqrt{2}}\approx 4{,}2426,
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V_{2,\text{rms}}\approx 4{,}2426\angle(-110^{\circ})\\ \text{V}.

Passo 7

Se quiseres também a forma retangular (parte real + j parte imaginária) do fasor, calculamos:
  • Para o fasor de pico:
6\angle(-110^{\circ}) = 6\big(\cos(-110^{\circ}) + j\sin(-110^{\circ})\big) \approx -2{,}0521 - j5{,}6382\\ \text{V}.
  • Para o fasor RMS:
4{,}2426\angle(-110^{\circ}) \approx -1{,}4546 - j3{,}9900\\ \text{V}.

Resposta

\tilde{V}_2 = 6\angle(-110^{\circ})\\ \text{V} (fasor de pico, em f=400\\ \text{Hz})\n
V_{2,\text{rms}} = \dfrac{6}{\sqrt{2}}\angle(-110^{\circ}) = 3\sqrt{2}\angle(-110^{\circ})\\ \text{V} \approx 4{,}2426\angle(-110^{\circ})\\ \text{V (rms)}

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