Converta os seguintes valores fracionários, da base 10 para a base 2 :
(a) 0,25_{10};

Passo 1

Vou deixar claro o que o problema pede e quais são os dados: o enunciado pede que eu converta o número fracionário 0,25_{10} (isto é, vinte e cinco centésimos em base decimal) para a sua representação em base binária (base 2). O número dado é \,0,25_{10}.

Passo 2

Explicação do método que vou usar (método das multiplicações sucessivas):
  • Para converter a parte fracionária de uma base decimal para base binária, multiplica-se a parte fracionária por 2.
  • A parte inteira do produto (ou seja, 0 ou 1) é o próximo dígito binário depois da vírgula.
  • Repetimos o processo usando a nova parte fracionária (o produto menos a parte inteira) até que a parte fracionária se torne 0 (representação finita) ou até termos os dígitos desejados (representação periódica).
  • Raciocínio por trás: cada digito binário na posição 2^{-k} corresponde a escolher se somamos 2^{-k} ou não; as multiplicações sucessivas “descobrem” esses coeficientes.

Passo 3

Aplicando o método ao número dado — passo a passo, sem pular etapas:
Primeira multiplicação:
0,25 \times 2 = 0,50.
A parte inteira desse produto é 0. Logo, o primeiro dígito binário após a vírgula é 0. A nova parte fracionária é 0,50.

Passo 4

Segunda multiplicação:
0,50 \times 2 = 1,00.
A parte inteira desse produto é 1. Logo, o segundo dígito binário após a vírgula é 1. A nova parte fracionária é 1,00-1=0,00, ou seja, 0. Como a parte fracionária ficou 0, podemos parar — a representação binária é finita.

Passo 5

Juntando os dígitos obtidos na ordem: primeiro dígito 0, segundo dígito 1. Portanto a representação em base 2 é
0,01_2.

Passo 6

Verificação (conversão inversa para garantir que deu certo):
0,01_2 = 0\cdot 2^{-1} + 1\cdot 2^{-2} = 0 + \frac{1}{4} = \frac{1}{4} = 0,25_{10}.
Confirma que a representação está correta.

Passo 7

Observação didática rápida e útil para a prova:
  • Números decimais cuja parte fracionária é racional com denominador que é potência de 2 (por exemplo \tfrac{1}{2},\tfrac{1}{4},\tfrac{3}{8}, etc.) têm representação finita em base 2.
  • No caso \tfrac{1}{4}=2^{-2}, por isso apareceu um 1 na posição 2^{-2} (segunda casa após a vírgula) e zeros nas posições maiores.

Resposta

0,01_2

Exercícios relacionados