(2,0 pontos) Dada a equação
definida no intervalo
, responda:
(a) É possível utilizar o método de Newton tomando como chute inicial
? Justifique!
(b) Adotando outro valor para
, utilize o Método de Newton para obter uma aproximação para a raiz considerando um erro absoluto
.
(a) É possível utilizar o método de Newton tomando como chute inicial
(b) Adotando outro valor para
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- A equação é
definida no intervalo . - O enunciado pede duas coisas:
(a) verificar se é possível usar o método de Newton tomando(justificar);
(b) escolhendo outro valor para, aplicar o Método de Newton até obter uma aproximação da raiz com erro absoluto .
As informações relevantes do enunciado: a função implícita na equação, o intervalo onde a raiz está e a exigência do erro absoluto para a aproximação na parte (b). A resolução começa no próximo passo.
Passo 2
Primeiro vou manipular a função e obter expressões úteis (isso é importante para aplicar Newton).
Defino
Percebe-se que a expressão é um quadrado perfeito, pois
Logo qualquer raiz satisfaz
, isto é,
, portanto a raiz é
Observação importante: como
, a raiz
tem multiplicidade
(é uma raiz dupla).
Agora calculo a derivada, que aparece na fórmula de Newton:
Passo 3
Vou lembrar o método de Newton e suas condições. O método de Newton gera a sequência
desde que
. Para uma raiz simples (multiplicidade 1) e com chute suficientemente próximo, Newton converge quadraticamente; para raiz múltipla de multiplicidade
a convergência deixa de ser quadrática e fica linear com fator aproximado
.
No nosso caso, usando
e
, a razão
simplifica porque
cancela (quando
):
Portanto a forma explícita da iteração de Newton para essa função é
Essa forma é muito útil: evita calcular
e
separadamente e mostra claramente o comportamento da iteração.
Passo 4
A pergunta (a) é sobre tomar
.
Calculo
e
:
Conclusões:
- Se eu aplicar a fórmula de Newton diretamente em
apareceria uma divisão por , o que torna a iteração indefinida (não se pode computar pela fórmula tradicional). - Por outro lado,
significa que já é uma raiz exata — não há necessidade de iterar: a solução já foi encontrada.
Portanto: não é possível executar a iteração (computar
) usando a fórmula de Newton em
por causa de
, mas
já é a raiz exata.
Passo 5
Para a parte (b) vou escolher um outro chute inicial dentro do intervalo dado; escolho
(qualquer outro ponto em
,
, também serve).
Antes de iterar, é útil entender a convergência aqui: como a raiz tem multiplicidade
, Newton converge linearmente com fator aproximado
. Para ver isso rapidamente, para
pequeno:
logo
. Ou seja, cada iteração reduz aproximadamente pela metade o erro absoluto — convergência linear, fator
. Isso explica por que vamos ver o valor aproximadamente dividindo-se por 2 a cada iteração.
Passo 6
Vou aplicar a fórmula
a partir de
. Em cada linha mostro
,
(aprox.) e o novo
. Uso aproximações decimais suficientes para garantir que o erro final seja menor que
.
Note que
. Pelo critério pedido (erro absoluto menor que
) podemos parar na iteração
com o valor
.]
Passo 7
Como a raiz exata é
, o erro absoluto na iteração
é
. A iteração produz uma sequência que se aproxima por redução aproximadamente da metade a cada passo (conforme a análise de multiplicidade). Com o chute
foi necessário chegar até
para que
. Se escolhesse outro chute, por exemplo
, obter-se-ia convergência também, possivelmente em menos iterações (teste rápido mostra que com
são cerca de 12 iterações até atingir a mesma tolerância).
Resposta
(a) Não é possível aplicar a iteração de Newton em
porque
(divisão por zero); contudo
já é a raiz exata.
(b) Tomando , após 15 iterações obtém-se
, que satisfaz
.
(b) Tomando