(2,0 pontos) Considere o sistema F(10,3,4,3) e responda:
(a) (0,8 pontos ) Quais são o maior e o menor números positivos que podem ser representados nesse sistemas?
(b) ( 0,4 pontos) Seja x=\frac{17.678}{3.471}+\frac{(9.617)^{2}}{3.716 \times 1.85}. Calcule x com todos os algarismos da sua calculadora, sem efetuar arredondamentos.
(c) ( 0,8 pontos) Calcule x considerando o sistema F(10,3,4,3). Faça arredondamento a cada operação efetuada.

Passo 1

Vou deixar claro o que o enunciado pede e quais dados temos.
  • O enunciado fornece o sistema de ponto flutuante F(10,3,4,3).
  • Perguntas:
    (a) Quais são o maior e o menor números positivos que podem ser representados nesse sistema?
    (b) Seja x=\dfrac{17.678}{3.471}+\dfrac{(9.617)^{2}}{3.716\times1.85}. Calcule x com todos os algarismos da sua calculadora, sem efetuar arredondamentos.
    (c) Calcule x considerando o sistema F(10,3,4,3). Faça arredondamento a cada operação efetuada.
  • Valores dados no cálculo de x:
    • Numerador do primeiro quociente: 17.678.
    • Denominador do primeiro quociente: 3.471.
    • Numerador do segundo quociente: (9.617)^{2}.
    • Denominador do segundo quociente: 3.716\times1.85.
A partir daqui passo a passo eu mostro como resolver cada item e explico tudo o que é necessário para entender as operações e os arredondamentos.

Passo 2

Entendendo o sistema F(10,3,4,3) — o que ele significa e quais números ele representa.
  • Interpretação dos parâmetros: em F(\beta,t,m,M) tem-se
    • \beta é a base — aqui \beta=10.
    • t é o número de algarismos na mantissa (número de dígitos significativos) — aqui t=3.
    • m é o menor expoente permitido — aqui m=-4.
    • M é o maior expoente permitido — aqui M=3.
  • Forma normalizada dos números representáveis: todo número (não nulo) tem a forma
    \pm(d_1 . d_2 d_3)\times 10^{e},
    onde d_1 é um dígito entre 1 e 9 (ou seja, o primeiro dígito não pode ser zero) e d_2,d_3 são dígitos entre 0 e 9. A mantissa tem exatamente t=3 dígitos significativos. O expoente e pode variar entre m=-4 e M=3.
  • Como construir os extremos:
    • O maior número positivo ocorre quando a mantissa é a maior possível (9.99) e o expoente é o maior e=M=3.
    • O menor número positivo normalizado ocorre quando a mantissa é a menor mantissa normalizada (1.00) e o expoente é o menor e=m=-4.
Agora aplico isso para obter os extremos numéricos.

Passo 3

Cálculo do maior e do menor número positivos representáveis em F(10,3,4,3).
  • Maior número positivo:
    \text{máx} = 9{,}99\times10^{3}.á
    Calculando:
    9{,}99\times10^{3} = 9{,}99\times1000 = 9990.
  • Menor número positivo normalizado:
    \text{mín} = 1{,}00\times10^{-4}.í
    Calculando:
    1{,}00\times10^{-4} = 10^{-4} = 0{,}0001.
(Observação didática rápida: alguns sistemas permitem números subnormais (denormalizados) menores que 1{,}00\times10^{m}, mas quando o enunciado dá F(\beta,t,m,M) sem mencionar denormalizados, usamos apenas os números normalizados como acima.)

Passo 4

Cálculo exato (sem arredondamentos) de x=\dfrac{17.678}{3.471}+\dfrac{(9.617)^{2}}{3.716\times1.85} — explicar cada etapa e mostrar todas as cifras disponíveis (como faria numa calculadora de boa precisão).
  1. Calcular (9.617)^{2} exatamente como decimal:
(9{,}617/1000)^2=\dfrac{9617^{2}}{10^{6}}.
Calculando 9617^{2}:
9617^{2}=92\,486\,689,
logo
(9{,}617)^{2}= \dfrac{92\,486\,689}{10^{6}} = 92{,}486689.
  1. Calcular 3{,}716\times1{,}85 exatamente:
3{,}716\times1{,}85 = 3{,}716\times\dfrac{185}{100}=\dfrac{3{,}716\times185}{100}.
Fazendo a multiplicação:
3{,}716\times185=687{,}460,
portanto
3{,}716\times1{,}85=\dfrac{687{,}460}{100}=6{,}8746.
  1. Agora o segundo quociente é
\frac{(9{,}617)^{2}}{3{,}716\times1{,}85}=\frac{92{,}486689}{6{,}8746}.
Fazendo a divisão com precisão (longa divisão / calculadora), obtém-se a expansão decimal (mostro muitas casas, como numa calculadora de alta precisão):
\frac{92{,}486689}{6{,}8746}=13{,}45339205190120152445\ldots
(esta é a expansão decimal completa até as casas mostradas; a dízima não aparece com período curto — a fração é racional e tem expansão decimal não periódica curta).
  1. Calcular o primeiro quociente exatamente:
\frac{17{,}678}{3{,}471} = \frac{17{,}678}{3{,}471}
(é a mesma fração que \dfrac{17{,}678}{3{,}471}=\dfrac{17678}{3471}). Fazendo a divisão com muitas casas:
\frac{17{,}678}{3{,}471}=5{,}09305675597810429271\ldots
  1. Somar os dois resultados sem arredondar:
x = 5{,}09305675597810429271\ldots + 13{,}45339205190120152445\ldots
Somando com precisão, obtemos (mostrando muitas casas):
x = 18{,}54644880787930581716\ldots
Portanto a calculadora (com boa precisão) mostra, sem arredondamento final forçado, por exemplo:
x \approx 18{,}54644880787930581716\ldots
(essas são as casas iniciais decimais; pode-se continuar a expansão se a calculadora der mais dígitos, mas aqui já está mostrado com muitas casas significativas).

Passo 5

Agora calculo x no sistema F(10,3,4,3), arredondando a cada operação. Vou explicar a regra de arredondamento que uso: torno ao número com t=3 dígitos significativos mais próximo (arredondamento para o vizinho mais próximo; se houver empate, adota-se o arredondamento para cima padrão). Além disso, antes de qualquer operação os operandos são considerados representados no sistema, isto é, truncados/arreondados para 3 dígitos significativos se necessário.
  1. Representar os dados iniciais em F(10,3,4,3) (arredondando cada número para 3 dígitos significativos):
  • 17{,}678 com 3 dígitos significativos é 17{,}7. Em notação normalizada: 17{,}7 = 1{,}77\times10^{1}.
    Escrevo: \,17{,}678 \to 1{,}77\times10^{1}.
  • 3{,}471 \to 3{,}47\times10^{0}.
  • 9{,}617 \to 9{,}62\times10^{0}.
  • 3{,}716 \to 3{,}72\times10^{0}.
  • 1{,}85 \to 1{,}85\times10^{0} (já tem 3 dígitos significativos).
(Expliquei: cada valor é arredondado imediatamente para ter apenas 3 algarismos significativos antes de começar a operar.)
  1. Calcular o primeiro quociente a=\dfrac{17{,}678}{3{,}471} usando os valores arredondados:
a \approx \frac{1{,}77\times10^{1}}{3{,}47\times10^{0}} = \left(\frac{1{,}77}{3{,}47}\right)\times10^{1}.
Calcule \dfrac{1{,}77}{3{,}47} com precisão suficiente: numericamente isto vale aproximadamente 0{,}51009\ldots. Multiplicando por 10^{1}:
\text{valor não arredondado} \approx 5{,}1009\ldotsã
Agora arredondo para 3 dígitos significativos: 5{,}1009\ldots \to 5{,}10. Em notação normalizada isso é 5{,}10\times10^{0} (mantissa 5,10 com três dígitos significativos).
Portanto, após a divisão e arredondamento imediato:
a_{\text{F}} = 5{,}10.
  1. Calcular o numerador do segundo termo com arredondamento por etapa:
  • Primeiro calcular (9{,}617)^{2} usando 9{,}62 (representação em F):
(9{,}62)^{2} = 92{,}5444.
Arredondando para 3 dígitos significativos: 92{,}5444 \to 92{,}5 (isto é 9{,}25\times10^{1}).
Logo numerador aproximado =92{,}5.
  1. Calcular o denominador do segundo termo com arredondamento:
3{,}72\times1{,}85 = 6{,}882.
Arredondando para 3 dígitos significativos: 6{,}882 \to 6{,}88.
  1. Dividir numerador arredondado pelo denominador arredondado:
\frac{92{,}5}{6{,}88}\approx 13{,}444767\ldots
Arredondando para 3 dígitos significativos: os três primeiros dígitos são 1,3,4 (isto é 13{,}4\ldots), o quarto dígito é 4 (menor que 5), então o arredondamento dá:
\frac{92{,}5}{6{,}88}\to 13{,}4.
Ou em notação normalizada: 1{,}34\times10^{1} mas escrevemos simplesmente 13{,}4.
  1. Somar os dois termos arredondados (arredonde a soma final também para 3 dígitos significativos, já que cada operação exige arredondamento):
a_{\text{F}} + b_{\text{F}} = 5{,}10 + 13{,}4 = 18{,}50.
Agora, 18{,}50 tem já três dígitos significativos (1,8,5); podemos escrever 18{,}5 (mantendo o terceiro dígito zero se quiser explicitar três algarismos, mas o valor representável com 3 dígitos significativos é 1{,}85\times10^{1}, que em decimal é 18{,}5).
Portanto, o resultado final em F(10,3,4,3), com arredondamento em cada operação, é
x_{\text{F}} = 18{,}5.
(Observação didática: a diferença grande entre o valor exato \approx18{,}5464\ldots e o valor em F, 18{,}5, vem do fato de que foi feita quantização em cada entrada e arredondamento em cada operação; isso é exatamente o efeito do erro de arredondamento acumulado em aritmética de ponto flutuante.)

Resposta

(a) Maior: 9990
(a) Menor: 0{,}0001
(b) 18{,}54644880787930581716\ldots
(c) 18{,}5

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