(2,0 pontos) Considere o sistema
e responda:
(a)
pontos
Quais são o maior e o menor números positivos que podem ser representados nesse sistemas?
(b) ( 0,4 pontos) Seja
. Calcule
com todos os algarismos da sua calculadora, sem efetuar arredondamentos.
(c) ( 0,8 pontos) Calcule
considerando o sistema
. Faça arredondamento a cada operação efetuada.
(a)
(b) ( 0,4 pontos) Seja
(c) ( 0,8 pontos) Calcule
Passo 1
Vou deixar claro o que o enunciado pede e quais dados temos.
-
O enunciado fornece o sistema de ponto flutuante
. -
Perguntas:
(a) Quais são o maior e o menor números positivos que podem ser representados nesse sistema?
(b) Seja. Calcule com todos os algarismos da sua calculadora, sem efetuar arredondamentos.
(c) Calculeconsiderando o sistema . Faça arredondamento a cada operação efetuada. -
Valores dados no cálculo de
: - Numerador do primeiro quociente:
. - Denominador do primeiro quociente:
. - Numerador do segundo quociente:
. - Denominador do segundo quociente:
.
- Numerador do primeiro quociente:
A partir daqui passo a passo eu mostro como resolver cada item e explico tudo o que é necessário para entender as operações e os arredondamentos.
Passo 2
Entendendo o sistema
— o que ele significa e quais números ele representa.
-
Interpretação dos parâmetros: em
tem-se -
é a base — aqui . -
é o número de algarismos na mantissa (número de dígitos significativos) — aqui . -
é o menor expoente permitido — aqui . -
é o maior expoente permitido — aqui .
-
-
Forma normalizada dos números representáveis: todo número (não nulo) tem a formaonde
é um dígito entre e (ou seja, o primeiro dígito não pode ser zero) e são dígitos entre e . A mantissa tem exatamente dígitos significativos. O expoente pode variar entre e . -
Como construir os extremos:
- O maior número positivo ocorre quando a mantissa é a maior possível
e o expoente é o maior . - O menor número positivo normalizado ocorre quando a mantissa é a menor mantissa normalizada
e o expoente é o menor .
- O maior número positivo ocorre quando a mantissa é a maior possível
Agora aplico isso para obter os extremos numéricos.
Passo 3
Cálculo do maior e do menor número positivos representáveis em
.
-
Maior número positivo:Calculando:
-
Menor número positivo normalizado:Calculando:
(Observação didática rápida: alguns sistemas permitem números subnormais (denormalizados) menores que
, mas quando o enunciado dá
sem mencionar denormalizados, usamos apenas os números normalizados como acima.)
Passo 4
Cálculo exato (sem arredondamentos) de
— explicar cada etapa e mostrar todas as cifras disponíveis (como faria numa calculadora de boa precisão).
- Calcular
exatamente como decimal:
Calculando
:
logo
- Calcular
exatamente:
Fazendo a multiplicação:
portanto
- Agora o segundo quociente é
Fazendo a divisão com precisão (longa divisão / calculadora), obtém-se a expansão decimal (mostro muitas casas, como numa calculadora de alta precisão):
(esta é a expansão decimal completa até as casas mostradas; a dízima não aparece com período curto — a fração é racional e tem expansão decimal não periódica curta).
- Calcular o primeiro quociente exatamente:
(é a mesma fração que
). Fazendo a divisão com muitas casas:
- Somar os dois resultados sem arredondar:
Somando com precisão, obtemos (mostrando muitas casas):
Portanto a calculadora (com boa precisão) mostra, sem arredondamento final forçado, por exemplo:
(essas são as casas iniciais decimais; pode-se continuar a expansão se a calculadora der mais dígitos, mas aqui já está mostrado com muitas casas significativas).
Passo 5
Agora calculo
no sistema
, arredondando a cada operação. Vou explicar a regra de arredondamento que uso: torno ao número com
dígitos significativos mais próximo (arredondamento para o vizinho mais próximo; se houver empate, adota-se o arredondamento para cima padrão). Além disso, antes de qualquer operação os operandos são considerados representados no sistema, isto é, truncados/arreondados para 3 dígitos significativos se necessário.
- Representar os dados iniciais em
(arredondando cada número para dígitos significativos):
-
com dígitos significativos é . Em notação normalizada: .
Escrevo: -
-
-
-
(já tem 3 dígitos significativos).
(Expliquei: cada valor é arredondado imediatamente para ter apenas 3 algarismos significativos antes de começar a operar.)
- Calcular o primeiro quociente
usando os valores arredondados:
Calcule
com precisão suficiente: numericamente isto vale aproximadamente
. Multiplicando por
:
Agora arredondo para
dígitos significativos:
Em notação normalizada isso é
(mantissa
com três dígitos significativos).
Portanto, após a divisão e arredondamento imediato:
- Calcular o numerador do segundo termo com arredondamento por etapa:
- Primeiro calcular
usando (representação em ):
Arredondando para
dígitos significativos:
(isto é
).
Logo numerador aproximado
.
- Calcular o denominador do segundo termo com arredondamento:
Arredondando para
dígitos significativos:
- Dividir numerador arredondado pelo denominador arredondado:
Arredondando para
dígitos significativos: os três primeiros dígitos são
(isto é
), o quarto dígito é
(menor que 5), então o arredondamento dá:
Ou em notação normalizada:
mas escrevemos simplesmente
.
- Somar os dois termos arredondados (arredonde a soma final também para 3 dígitos significativos, já que cada operação exige arredondamento):
Agora,
tem já três dígitos significativos
; podemos escrever
(mantendo o terceiro dígito zero se quiser explicitar três algarismos, mas o valor representável com 3 dígitos significativos é
, que em decimal é
).
Portanto, o resultado final em
, com arredondamento em cada operação, é
(Observação didática: a diferença grande entre o valor exato
e o valor em
,
, vem do fato de que foi feita quantização em cada entrada e arredondamento em cada operação; isso é exatamente o efeito do erro de arredondamento acumulado em aritmética de ponto flutuante.)
Resposta
(a) Maior:
(a) Menor:
(b)
(c)
(a) Menor:
(b)
(c)