Converta os valores Decimais para Binário representado em Complemento-2, utilizando o menor número de bits possível em cada caso.
38_{10}= & -38_{10}=

Passo 1

O enunciado pede para converter os números decimais \,38_{10} e -38_{10} para binário, usando representação em complemento de dois (two’s complement), e usar o menor número de bits possível em cada caso.\n
Informações dadas:
  • Os números a converter são \,38_{10} e -38_{10}.\n
  • A representação solicitada é em complemento de dois.\n
  • Deve-se usar o menor número de bits possível que permita representar cada valor.

Passo 2

Definir o que significa “menor número de bits possível” em complemento de dois: para n bits o intervalo de valores representáveis é
-2^{\,n-1}\le x \le 2^{\,n-1}-1.
Precisamos escolher o menor n tal que \,38 e -38 caibam nesse intervalo.\n
Para \,38: precisamos de 2^{\,n-1}-1 \ge 38. Testando potências:
2^{5}-1=31<38,\qquad 2^{6}-1=63\ge 38.
Logo n-1=6 e n=7. Portanto precisamos de pelo menos 7 bits para representar \,38.\n
Para -38: precisamos de -2^{\,n-1}\le -38, isto é 2^{\,n-1}\ge 38. Testando:
2^{5}=32<38,\qquad 2^{6}=64\ge 38.
Logo também n-1=6 e n=7. Portanto também são necessários 7 bits para -38.

Passo 3

Agora converto \,38_{10} para binário (método da divisão por 2). Faço as divisões sucessivas e anoto os restos:
\begin{array}{l} 38\div2=19\\ \text{resto}\\\ 0,\\\\ 19\div2=9\\ \text{resto}\\\ 1,\\\\ 9\div2=4\\ \text{resto}\\\ 1,\\\\ 4\div2=2\\ \text{resto}\\\ 0,\\\\ 2\div2=1\\ \text{resto}\\\ 0,\\\\ 1\div2=0\\ \text{resto}\\\ 1. \end{array}
Lendo os restos de baixo para cima obtemos o binário sem sinal de 6 bits:
100110_2.

Passo 4

Como determinamos que precisamos de 7 bits no total, acrescentamos um bit de sinal à esquerda (para números positivos esse bit é 0). Então a representação em complemento de dois de \,38_{10} com 7 bits é
0100110_2.
Verificação rápida (pesos dos bits): em 7 bits, com bit mais significativo 0, o valor é
0\cdot 2^{6}+1\cdot 2^{5}+0\cdot 2^{4}+0\cdot 2^{3}+1\cdot 2^{2}+1\cdot 2^{1}+0\cdot 2^{0}=32+4+2=38.

Passo 5

Para obter a representação em complemento de dois de um número negativo (aqui -38) com 7 bits usamos o procedimento padrão:
  1. Pegar a representação positiva em 7 bits: \,0100110_2.\n
  2. Fazer o complemento bit a bit (inverter 0\leftrightarrow1): isso dá
1011001_2.\n
  1. Somar 1 ao resultado anterior:
1011001_2 + 1_2 = 1011010_2.

Passo 6

Verifico que \,1011010_2 representa -38 em complemento de dois de 7 bits calculando seu valor por pesos (bit mais significativo tem peso negativo):
-1\cdot 2^{6}+0\cdot 2^{5}+1\cdot 2^{4}+1\cdot 2^{3}+0\cdot 2^{2}+1\cdot 2^{1}+0\cdot 2^{0}=-64+16+8+2=-38.
Uma verificação extra é somar a representação de +38 e de -38 em 7 bits:
0100110_2 + 1011010_2 = 0000000_2 \\ \text{(com carry de saída ignorado)},í
o que confirma que são mutuamente opostos em complemento de dois.

Resposta

\,38_{10}=0100110_{2}\n
-38_{10}=1011010_{2}

Exercícios relacionados