Converter o ponto do Sistema de Coordenadas Cilíndricas para Cartesianas:
\left(8, \frac{5 \pi}{3},-3\right)

Passo 1

O enunciado nos dá um ponto no sistema de coordenadas cilíndricas e pede para convertê‑lo para coordenadas cartesianas. Os dados fornecidos são:
  • raio radial: \,r=8\,,
  • ângulo: \,\theta=\dfrac{5\pi}{3}\,,
  • altura: \,z=-3\,.
A pergunta é: qual é o ponto equivalente no sistema de coordenadas cartesianas (x,y,z)?

Passo 2

Primeiro, lembrar as fórmulas de conversão entre cilíndricas e cartesianas. Essas fórmulas vêm da projeção do ponto no plano xy usando trigonometria:
x = r\cos\theta,
y = r\sin\theta,
z = z.
Aqui cada símbolo significa:
  • \,r\, é a distância do ponto até a origem no plano xy (sempre não negativa);
  • \,\theta\, é o ângulo entre o semi-eixo positivo x e a projeção do ponto no plano xy, medido em sentido anti-horário;
  • \,z\, é a mesma coordenada vertical dos dois sistemas.

Passo 3

Vamos aplicar as fórmulas ao nosso ponto. Precisamos calcular \cos\theta e \sin\theta com \theta=\dfrac{5\pi}{3}. Então:
x = 8\cos\!\left(\dfrac{5\pi}{3}\right), \qquad y = 8\sin\!\left(\dfrac{5\pi}{3}\right), \qquad z = -3.

Passo 4

Avaliar \cos\!\left(\dfrac{5\pi}{3}\right) e \sin\!\left(\dfrac{5\pi}{3}\right) usando o círculo trigonométrico. Note que
\dfrac{5\pi}{3} = 2\pi - \dfrac{\pi}{3},
ou seja, é um ângulo no quarto quadrante com ângulo de referência \dfrac{\pi}{3}. Para o ângulo \dfrac{\pi}{3} conhecemos os valores:
\cos\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{1}{2}, \qquad \sin\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}.
No quarto quadrante o cosseno é positivo e o seno é negativo. Assim:
\cos\!\left(\dfrac{5\pi}{3}\right)=\cos\!\left(2\pi-\dfrac{\pi}{3}\right)=\cos\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{1}{2},
\sin\!\left(\dfrac{5\pi}{3}\right)=\sin\!\left(2\pi-\dfrac{\pi}{3}\right)=-\sin\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}.

Passo 5

Agora multiplicar por r=8 para obter x e y. Fazer as contas passo a passo:
x = 8\cdot\frac{1}{2}= \frac{8}{2}=4,
y = 8\cdot\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)= -\frac{8\sqrt{3}}{2}= -4\sqrt{3}.
E já sabíamos que
z=-3.

Passo 6

Escrever o ponto resultante no formato cartesiano (x,y,z):
(4,\,-4\sqrt{3},\,-3).

Passo 7

Fazer uma checagem rápida para ver se a conversão faz sentido: o raio calculado a partir das coordenadas cartesianas deve voltar a ser r=8. Calcular
\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{4^2+\bigl(-4\sqrt{3}\bigr)^2}=\sqrt{16+16\cdot3}=\sqrt{16+48}=\sqrt{64}=8,
o que confirma que está consistente.

Resposta

\left(4,\,-4\sqrt{3},\,-3\right)

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