Converter o ponto do Sistema de Coordenadas Cilíndricas para Cartesianas:
Passo 1
O enunciado nos dá um ponto no sistema de coordenadas cilíndricas e pede para convertê‑lo para coordenadas cartesianas. Os dados fornecidos são:
- raio radial:
, - ângulo:
, - altura:
.
A pergunta é: qual é o ponto equivalente no sistema de coordenadas cartesianas
?
Passo 2
Primeiro, lembrar as fórmulas de conversão entre cilíndricas e cartesianas. Essas fórmulas vêm da projeção do ponto no plano
usando trigonometria:
Aqui cada símbolo significa:
-
é a distância do ponto até a origem no plano (sempre não negativa); -
é o ângulo entre o semi-eixo positivo e a projeção do ponto no plano , medido em sentido anti-horário; -
é a mesma coordenada vertical dos dois sistemas.
Passo 3
Vamos aplicar as fórmulas ao nosso ponto. Precisamos calcular
e
com
. Então:
Passo 4
Avaliar
e
usando o círculo trigonométrico. Note que
ou seja, é um ângulo no quarto quadrante com ângulo de referência
. Para o ângulo
conhecemos os valores:
No quarto quadrante o cosseno é positivo e o seno é negativo. Assim:
Passo 5
Agora multiplicar por
para obter
e
. Fazer as contas passo a passo:
E já sabíamos que
Passo 6
Escrever o ponto resultante no formato cartesiano
:
Passo 7
Fazer uma checagem rápida para ver se a conversão faz sentido: o raio calculado a partir das coordenadas cartesianas deve voltar a ser
. Calcular
o que confirma que está consistente.