Converter o ponto do Sistema de Coordenadas Cilíndricas para Cartesianas:
\left(6, \frac{3 \pi}{4}, 2\right)

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede. O enunciado fornece o ponto em coordenadas cilíndricas
\left(6,\;\frac{3\pi}{4},\;2\right),
ou seja:
  • \,r=6\, (distância radial ao eixo z);
  • \,\theta=\dfrac{3\pi}{4}\, (ângulo medido a partir do eixo x, no plano xy);
  • \,z=2\, (mesma coordenada z do sistema cartesiano).
O que é pedido: converter esse ponto para coordenadas cartesianas (x,y,z).

Passo 2

Lembrando as fórmulas de conversão do sistema cilíndrico para o cartesiano:
x = r\cos\theta, \qquad y = r\sin\theta, \qquad z = z.
Explicando cada símbolo:
  • r é a distância radial do ponto ao eixo z;
  • \theta é o ângulo no plano xy contado a partir do eixo x (positivo no sentido anti-horário);
  • x e y são as projeções cartesianas no plano xy;
  • z permanece igual em ambos os sistemas.
Usaremos essas fórmulas substituindo r=6 e \theta=\dfrac{3\pi}{4}.

Passo 3

Precisamos conhecer \cos\left(\dfrac{3\pi}{4}\right) e \sin\left(\dfrac{3\pi}{4}\right).
O ângulo \dfrac{3\pi}{4} está no segundo quadrante (entre \dfrac{\pi}{2} e \pi). No círculo unitário:
\cos\!\left(\dfrac{3\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}, \qquad \sin\!\left(\dfrac{3\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}.
(Esses valores vêm do triângulo especial de 45^\circ ou \tfrac{\pi}{4} aplicado ao segundo quadrante; cosseno negativo e seno positivo.)

Passo 4

Agora calculo x usando x=r\cos\theta:
x = 6\cos\!\left(\frac{3\pi}{4}\right) = 6\cdot\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -3\sqrt{2}.

Passo 5

Calculo y usando y=r\sin\theta:
y = 6\sin\!\left(\frac{3\pi}{4}\right) = 6\cdot\frac{\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}.

Passo 6

A coordenada z permanece igual:
z = 2.

Passo 7

Fazer uma checagem rápida (sanity check): a distância radial no cartesiano é \sqrt{x^2+y^2}.
\sqrt{(-3\sqrt{2})^2+(3\sqrt{2})^2}=\sqrt{18+18}=\sqrt{36}=6,
que coincide com r=6. Ótimo — está consistente.

Resposta

\left(-3\sqrt{2},\;3\sqrt{2},\;2\right)

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