Questão 3 [ 2,0 pontos]: Utilize a Regra de L’Hôpital para calcular os limites a seguir:
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln \left(x^{2}-7 x+1\right)}{\operatorname{sen}(5 x)}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to 0} \frac{\ln\bigl(x^{2}-7x+1\bigr)}{\operatorname{sen}(5x)}.
Informações dadas:
  • A função no numerador é \ln\bigl(x^{2}-7x+1\bigr).
  • A função no denominador é \operatorname{sen}(5x).
  • O ponto onde o limite é pedido é x\to 0.
O que queremos: o valor do limite acima quando x se aproxima de 0.

Passo 2

Verificar a forma indeterminada ao substituir x=0.
Calcular o numerador em x=0:
\ln\bigl(0^{2}-7\cdot0+1\bigr)=\ln(1)=0.
Calcular o denominador em x=0:
\operatorname{sen}(5\cdot0)=\operatorname{sen}(0)=0.
Portanto a expressão tem forma indeterminada \tfrac{0}{0}, o que permite (sob hipóteses) aplicar a Regra de L’Hôpital.

Passo 3

Conferir as hipóteses da Regra de L’Hôpital (versão básica):
  • Numerador e denominador devem ser diferenciáveis numa vizinhança de 0, exceto possivelmente em 0 próprio.
  • O limite original deve apresentar a forma indeterminada 0/0 ou \infty/\infty.
Aqui:
  • A função g(x)=x^{2}-7x+1 é polinomial, logo contínua e diferenciável; e g(0)=1>0. Como g é contínua, existe uma vizinhança de 0 onde g(x)>0, então \ln(g(x)) é bem definida e diferenciável nessa vizinhança (exceto em pontos onde g(x)\le 0, mas isso não ocorre num intervalo suficientemente pequeno ao redor de 0 porque g(0)=1). Logo o numerador é diferenciável perto de 0.
  • O denominador \operatorname{sen}(5x) é diferenciável em toda a reta.
Assim as hipóteses locais da Regra de L’Hôpital estão satisfeitas e podemos aplicá-la.

Passo 4

Aplicar a Regra de L’Hôpital: substituir o limite original pelo limite do quociente das derivadas.
Vamos calcular as derivadas passo a passo.
Seja g(x)=x^{2}-7x+1. Então
g'(x)=2x-7.
Derivada do numerador: regra da cadeia para \ln(g(x)):
\frac{d}{dx}\bigl(\ln(g(x))\bigr)=\frac{g'(x)}{g(x)}=\frac{2x-7}{x^{2}-7x+1}.
(Explicação rápida: a derivada de \ln(u) em relação a x é \dfrac{u'}{u}, onde u=u(x).)
Derivada do denominador: derivada de \operatorname{sen}(5x). Usando a cadeia, a derivada de \operatorname{sen}(t) é \cos(t) e a derivada de 5x é 5, logo
\frac{d}{dx}\bigl(\operatorname{sen}(5x)\bigr)=5\cos(5x).

Passo 5

Pela Regra de L’Hôpital,
\lim_{x\to 0} \frac{\ln\bigl(x^{2}-7x+1\bigr)}{\operatorname{sen}(5x)} = \lim_{x\to 0} \frac{\dfrac{2x-7}{x^{2}-7x+1}}{5\cos(5x)} = \lim_{x\to 0} \frac{2x-7}{5\cos(5x)\,\bigl(x^{2}-7x+1\bigr)}.

Passo 6

Avaliar o limite direto agora, substituindo x=0 (agora a expressão não é indeterminada):
  • 2x-7 em x=0 vale 2\cdot0-7=-7.
  • x^{2}-7x+1 em x=0 vale 1.
  • \cos(5x) em x=0 vale \cos(0)=1.
Logo
\lim_{x\to 0} \frac{2x-7}{5\cos(5x)\,\bigl(x^{2}-7x+1\bigr)} = \frac{-7}{5\cdot 1\cdot 1} = -\dfrac{7}{5}.
(Comentário rápido e motivador: outra forma curta de ver isso é usar a aproximação \ln(1+u)\approx u e \operatorname{sen}(5x)\approx 5x para x pequeno, obtendo a mesma resposta -7/5. Mas acima usamos L’Hôpital conforme pedido.)

Resposta

-\dfrac{7}{5}

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