Questão 3 [ 2,0 pontos]: Utilize a Regra de L’Hôpital para calcular os limites a seguir:
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações dadas:
- A função no numerador é
. - A função no denominador é
. - O ponto onde o limite é pedido é
.
O que queremos: o valor do limite acima quando
se aproxima de
.
Passo 2
Verificar a forma indeterminada ao substituir
.
Calcular o numerador em
:
Calcular o denominador em
:
Portanto a expressão tem forma indeterminada
, o que permite (sob hipóteses) aplicar a Regra de L’Hôpital.
Passo 3
Conferir as hipóteses da Regra de L’Hôpital (versão básica):
- Numerador e denominador devem ser diferenciáveis numa vizinhança de
, exceto possivelmente em próprio. - O limite original deve apresentar a forma indeterminada
ou .
Aqui:
- A função
é polinomial, logo contínua e diferenciável; e . Como é contínua, existe uma vizinhança de onde , então é bem definida e diferenciável nessa vizinhança (exceto em pontos onde , mas isso não ocorre num intervalo suficientemente pequeno ao redor de porque ). Logo o numerador é diferenciável perto de . - O denominador
é diferenciável em toda a reta.
Assim as hipóteses locais da Regra de L’Hôpital estão satisfeitas e podemos aplicá-la.
Passo 4
Aplicar a Regra de L’Hôpital: substituir o limite original pelo limite do quociente das derivadas.
Vamos calcular as derivadas passo a passo.
Seja
. Então
Derivada do numerador: regra da cadeia para
:
(Explicação rápida: a derivada de
em relação a
é
, onde
.)
Derivada do denominador: derivada de
. Usando a cadeia, a derivada de
é
e a derivada de
é
, logo
Passo 5
Pela Regra de L’Hôpital,
Passo 6
Avaliar o limite direto agora, substituindo
(agora a expressão não é indeterminada):
-
em vale . -
em vale . -
em vale .
Logo
(Comentário rápido e motivador: outra forma curta de ver isso é usar a aproximação
e
para
pequeno, obtendo a mesma resposta
. Mas acima usamos L’Hôpital conforme pedido.)