Questão 2 [ \mathbf{2 , 0} pontos]: Determinar a variação da área de um quadrado no instante em que seu lado mede 30 mm e que a variação do seu perímetro é igual a 16 \mathrm{~cm} / \mathrm{min}.

Passo 1

O enunciado dá um quadrado cujo lado varia com o tempo e pede a taxa de variação da área no instante especificado. Vou listar claramente os dados e o que é pedido.
  • Lado do quadrado no instante considerado: 30\\ \text{mm}.
  • Variação (taxa) do perímetro: \dfrac{dP}{dt}=16\\ \text{cm/min}.
  • Pergunta: determinar a variação da área do quadrado naquele instante, isto é \dfrac{dA}{dt} no instante em que o lado vale 30\\ \text{mm}.
Observação importante sobre unidades: a taxa do perímetro está em \text{cm/min} e o lado foi dado em \text{mm}. Para trabalhar sem confusão, é preciso usar uma única unidade (vou converter o lado para \text{cm}).

Passo 2

Definir as variáveis e as relações geométricas básicas do quadrado (essas fórmulas são fundamentais e fáceis de decorar para a prova).
  • Denotar por s(t) o comprimento do lado do quadrado no tempo t.
  • Perímetro do quadrado: P(t)=4s(t). Aqui 4 é porque o quadrado tem quatro lados iguais.
  • Área do quadrado: A(t)=s(t)^2. Produto lado vezes lado.
Essas duas relações serão usadas para ligar \dfrac{dP}{dt}, \dfrac{ds}{dt} e \dfrac{dA}{dt}.

Passo 3

Relacionar as taxas usando derivação em relação ao tempo (a regra usada é a derivada de funções compostas simples; tudo com física de variação no tempo).
  • Derivando P(t)=4s(t) em relação a t obtém-se:
\frac{dP}{dt}=4\frac{ds}{dt}.
Isto vem direto da regra que diz que a derivada de k\cdot s(t) é k\cdot s'(t) quando k é constante.
  • Logo, isolando \dfrac{ds}{dt}:
\frac{ds}{dt}=\frac{1}{4}\frac{dP}{dt}.

Passo 4

Converter unidades e calcular \dfrac{ds}{dt}.
  • Converter o lado 30\\ \text{mm} para centímetros (porque \dfrac{dP}{dt} está em \text{cm/min}):
30\\ \text{mm}=3\\ \text{cm}.
  • Usar \dfrac{dP}{dt}=16\\ \text{cm/min} na fórmula de \dfrac{ds}{dt}:
\frac{ds}{dt}=\frac{1}{4}\cdot 16\\ \text{cm/min}=4\\ \text{cm/min}.
Portanto naquele instante o lado está aumentando a 4\\ \text{cm/min}.

Passo 5

Relacionar a taxa da área com a taxa do lado usando derivação (a regra é a derivada de s^2, que é a regra do produto ou a regra da potência).
  • Como A(t)=s(t)^2, derivando em relação a t obtemos (regra da cadeia / potência):
\frac{dA}{dt}=2s\,\frac{ds}{dt}.
Explicando: a derivada de s^2 em relação a s é 2s, e depois multiplica-se por \dfrac{ds}{dt} porque s depende de t.

Passo 6

Substituir os valores numéricos (tudo em \text{cm} e \text{cm/min}).
  • Usar s=3\\ \text{cm} e \dfrac{ds}{dt}=4\\ \text{cm/min} na expressão de \dfrac{dA}{dt}:
\frac{dA}{dt}=2\cdot 3\\ \text{cm}\cdot 4\\ \text{cm/min}=24\\ \text{cm}^2/\text{min}.
Assim, a área está aumentando a 24\\ \text{cm}^2/\text{min} naquele instante.

Passo 7

Opcional — converter o resultado para \text{mm}^2/\text{min} caso prefira a unidade original do enunciado para o lado.
  • Como 1\\ \text{cm}=10\\ \text{mm}, segue 1\\ \text{cm}^2=100\\ \text{mm}^2. Então
24\\ \text{cm}^2/\text{min}=24\cdot 100\\ \text{mm}^2/\text{min}=2400\\ \text{mm}^2/\text{min}.

Resposta

24\\ \text{cm}^2/\text{min}
2400\\ \text{mm}^2/\text{min}

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