Questão 2 [
pontos]: Determinar a variação da área de um quadrado no instante em que seu lado mede 30 mm e que a variação do seu perímetro é igual a
.
Passo 1
O enunciado dá um quadrado cujo lado varia com o tempo e pede a taxa de variação da área no instante especificado. Vou listar claramente os dados e o que é pedido.
- Lado do quadrado no instante considerado:
. - Variação (taxa) do perímetro:
. - Pergunta: determinar a variação da área do quadrado naquele instante, isto é
no instante em que o lado vale .
Observação importante sobre unidades: a taxa do perímetro está em
e o lado foi dado em
. Para trabalhar sem confusão, é preciso usar uma única unidade (vou converter o lado para
).
Passo 2
Definir as variáveis e as relações geométricas básicas do quadrado (essas fórmulas são fundamentais e fáceis de decorar para a prova).
- Denotar por
o comprimento do lado do quadrado no tempo . - Perímetro do quadrado:
. Aqui é porque o quadrado tem quatro lados iguais. - Área do quadrado:
. Produto lado vezes lado.
Essas duas relações serão usadas para ligar
,
e
.
Passo 3
Relacionar as taxas usando derivação em relação ao tempo (a regra usada é a derivada de funções compostas simples; tudo com física de variação no tempo).
- Derivando
em relação a obtém-se:
Isto vem direto da regra que diz que a derivada de
é
quando
é constante.
- Logo, isolando
:
Passo 4
Converter unidades e calcular
.
- Converter o lado
para centímetros (porque está em ):
- Usar
na fórmula de :
Portanto naquele instante o lado está aumentando a
.
Passo 5
Relacionar a taxa da área com a taxa do lado usando derivação (a regra é a derivada de
, que é a regra do produto ou a regra da potência).
- Como
, derivando em relação a obtemos (regra da cadeia / potência):
Explicando: a derivada de
em relação a
é
, e depois multiplica-se por
porque
depende de
.
Passo 6
Substituir os valores numéricos (tudo em
e
).
- Usar
e na expressão de :
Assim, a área está aumentando a
naquele instante.
Passo 7
Opcional — converter o resultado para
caso prefira a unidade original do enunciado para o lado.
- Como
, segue . Então