Uma cooperativa agrícola afirma que 95 % das melancias por ela fornecidas estão maduras e prontas para o consumo. Determine a probabilidade de que, em um lote de 15 melancias,
ao menos 8 estejam maduras;

Passo 1

Queremos saber a probabilidade de que, em um lote de 15 melancias, pelo menos 8 estejam maduras, sabendo que cada melancia tem probabilidade p=0.95 de estar madura. Esse é um caso clássico de distribuição binomial, em que precisamos de n=15 e p=0.95.

Passo 2

Chamamos de sucesso o evento “melancia madura”. Logo, a variável aleatória X, número de melancias maduras no lote, segue
X sim Binomial(n=15,p=0.95)
A probabilidade de obter exatamente k sucessos é dada por
P(X=k)=binom15k(0.95)^k(0.05)^15-k

Passo 3

Queremos a probabilidade de ao menos 8 maduras, isto é P(X>=8). Em vez de somar direto de 8 a 15, usamos o complemento:
P(X>=8)=1-P(X<=7)=1-sumk=0^7binom15k(0.95)^k(0.05)^15-k

Passo 4

Agora, calculamos numericamente P(X<=7). Como p é alto, esses termos ficam muito pequenos. Por exemplo, para k=7:
P(X=7)=binom157(0.95)^7(0.05)^8approx1.756times10^-7,
e para k=6:
P(X=6)approx7.18times10^-9
Os termos para k<=5 são ainda menores. Somando de k=0 até 7 obtemos
P(X<=7)approx1.87times10^-7

Passo 5

Portanto:
P(X>=8)=1-1.87times10^-7approx0.999999813approx0.9999998

Resposta

A probabilidade de que ao menos 8 melancias estejam maduras é aproximadamente 0.9999998.

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